重庆市缙云教育联盟2024届高三上学期1月第一次诊断性检测（一模）数学试卷

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. “ $a > \frac{1}{2}$ ”是“ $\frac{1}{a} < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. $z = (1 + 2 i) (2 - i)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（）

A、 $3 + 4 i$ B、 $3 - 4 i$ C、 $4 + 3 i$ D、 $4 - 3 i$

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3. 已知函数 $f (x)$ 满足： $\forall x$ ， $y \in Z$ ， $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y + 1$ 成立，且 $f (- 2) = 1$ ，则 $f (2 n) (n \in N^{*}) =$ （）

A、 $4 n + 6$ B、 $8 n - 1$ C、 $4 n^{2} + 2 n - 1$ D、 $8 n^{2} + 2 n - 5$

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4. 已知 $m, n$ 是两条不同直线， $α, β, γ$ 是三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A、 $m / / α, m ⊥ n,$ 则 $n ⊥ α$ B、 $m ⊥ α, m ⊥ n,$ 则 $n / / α$ C、 $α / / β, m \subset β,$ 则 $m / / α$ D、 $m ⊥ β, β ⊥ γ,$ 则 $m / / γ$

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5. 已知 $a = \frac{4}{3} e^{\frac{1}{3}}$ ， $b = e^{\frac{2}{e}}$ ，则（）

A、 $a < 2 < b$ B、 $2 < a < b$ C、 $a < b < 2$ D、 $b < a < 2$

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} c o s (π x) - 2 x c o s (π x) + c o s (π x)$ ，则方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[- 2, 4]$ 上的所有实根之和为（）

A、0 B、3 C、6 D、12

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7. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} | = 4$ ， ${\vec{d}}^{2} - 4 \vec{b} \cdot \vec{d} + 3 = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{d} |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3} + 1$ B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3} + 2$ D、 $\frac{31}{3}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。

8. 已知 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{5} x^{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = - 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 2$ C、 $a_{4} = 80$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 122$ E、 $a_{5} = 16$

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9. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ， A ， B是抛物线上两个不同的点， $M$ 为线段AB的中点，则（）

A、若 $| A B | \geq 6$ ，则 $M$ 到准线距离的最小值为3 B、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2}$ ，且 $A F ⊥ B F$ ，则 $M$ 到准线的距离为 $\frac{5}{2}$ C、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{1}{2}$ ，且 $A F ⊥ B F$ ，则 $M$ 到准线的距离为 $\frac{7}{4}$ D、若AB过焦点 $F$ ， $| A B | = 8$ ， $C$ 为直线AB左侧抛物线上一点，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{2}$ E、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $O$ 到直线AB距离的最大值为4

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10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的结论中，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， 1]$ C、对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (f (x)) = 1$ D、在 $f (x)$ 图象上不存在不同的三个点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边三角形 E、在 $f (x)$ 图象存在不同的三个点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边三角形

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 已知 $P (x, y)$ 为圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ 上一点，则 $x + 2 \sqrt{2} y$ 的取值范围是.

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12. 已知二项式 ${(\frac{1}{2 x} + \sqrt{x})}^{n}$ 的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．

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13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的点P到直线 $x + 2 y - \sqrt{2} = 0$ 的最大距离是；距离最大时点P坐标为.

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14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是.

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四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $\frac{b}{2 c - b} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $6 C D = \sqrt{13} A B$ ，求 $c o s ∠ A C B$ ．

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16. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}^{2} + 2 S_{n} + 1 = \frac{9}{4} a_{n}^{2}$ ．

(1)、求证： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{m}, d_{k}, d_{p}$ ，（其中m ， k ， p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．

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17. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$ （a为常数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在两个不相等的正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > \frac{2}{a}$ .

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{1}{l n x_{1}} + \frac{1}{l n x_{2}} > 2$ .

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18. （15分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(0, 1)$ 和 $(0, - 1)$ ，设 $△ A B M$ 的面积为 $S$ ，内切圆半径为 $r$ ，当 $\frac{S}{r} = 3$ 时，记顶点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 在 $C$ 上，且直线 $E F$ 与 $P Q$ 相交于点 $A$ ，记 $E F$ ， $P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
(i) 设 $E F$ 的中点为 $G$ ， $P Q$ 的中点为 $H$ ，证明：存在唯一常数 $λ$ ，使得当 $k_{1} k_{2} = λ$ 时， $O G ⊥ O H$ ；
(ii) 若 $\frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{4}{3}$ ，当 $| | E F | - | P Q | |$ 最大时，求四边形 $E P F Q$ 的面积．

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19. 某工厂引进新的生产设备 $M$ ，为对其进行评估，从设备 $M$ 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值 $μ = 65$ ，标准差 $σ = 2.2$ ，以频率值作为概率的估计值.

(1)、为评估设备 $M$ 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量 $y$ 和原料中的该材料含量 $x$ 之间的相关关系，现取了8对观测值，求 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程.

(2)、为评判设备 $M$ 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 $X$ ，并根据以下不等式进行评判（ $P$ 表示相应事件的概率）；
① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \geq 0.6826$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \geq 0.9544$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \geq 0.9974$ .
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备 $M$ 的性能等级.

(3)、将直径小于等于 $μ - 2 σ$ 或直径大于 $μ + 2 σ$ 的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备 $M$ 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数 $Y$ 的数学期望 $E (Y)$ .
附：①对于一组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), ⋯, (x_{n}, y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
②参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 52$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 228$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 478$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 1849$ .

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五、本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.

20. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱 $O O^{'}$ 中底面长轴 $A B = A^{'} B^{'} = 4$ ，短轴长 $2 \sqrt{3}, F_{1}, F_{2}$ 为下底面椭圆的左右焦点， ${F_{2}}^{^{'}}$ 为上底面椭圆的右焦点， $A A^{'} = 4, P$ 为 $B B^{'}$ 上的动点， $E$ 为 $A^{'} B^{'}$ 上的动点， $M N$ 为过点 $F_{2}$ 的下底面的一条动弦（不与 $A B$ 重合）．

(1)、求证：当 $P$ 为 $B B^{'}$ 的中点时， $F_{1} {F_{2}}^{^{'}} / /$ 平面 $P M N$

(2)、若点 $Q$ 是下底面椭圆上的动点， $Q^{'}$ 是点 $Q$ 在上底面的投影，且 $Q^{'} F_{1}, Q^{'} F_{2}$ 与下底面所成的角分别为 $α, β$ ，试求出 $t a n (α + β)$ 的取值范围．

(3)、求三棱锥 $E - P M N$ 的体积的最大值．

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21. 如图1，已知 $A (- 3, 0)$ ， $B (- 1, 1)$ ， $C (1, 1)$ ， $D (3, 0)$ ， $E (1, - 1)$ ， $F (- 1, - 1)$ .

(1)、求将六边形 $A B C D E F$ 绕 $x$ 轴旋转半周（等同于四边形 $A B C D$ 绕 $x$ 轴旋转一周）所围成的几何体的体积；

(2)、将平面 $A B F$ 绕 $B F$ 旋转到平面 $A^{'} B F$ ，使得平面 $A^{'} B F ⊥$ 平面 $D E C$ ，求异面直线 $A^{'} F$ 与 $C D$ 所成的角；

(3)、某“ $U F O$ ”可以近似看成，将图1中的线段 $B C$ 、 $E F$ 改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕 $y$ 轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.

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直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100