河北省沧州市沧县中学2024届高三下学期3月高考模拟考试数学

试卷更新日期：2024-04-10 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数 $\frac{1}{(1 + i)^{3}}$ 的实部为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x \in N | x < 4}$ ， $B = {x | x = n^{2} - 1, n \in A}$ ， $P = A ∩ B$ ，则集合P的子集共有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、8个

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、4 D、 $2 \sqrt{7}$

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4. 已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中间，则不同的站法种数为（）

A、32 B、36 C、40 D、42

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5. 已知在三棱锥 $O - A B C$ 中， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = \frac{π}{3}$ ，则直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成的角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 $2.25 g / m^{3}$ ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 $2.21 g / m^{3}$ ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 $r_{n}$ 满足函数模型 $r_{n} = r_{0} + (r_{1} - r_{0}) \cdot 3^{0.25 n + t}$ （ $t \in R$ ， $n \in N^{*}$ ），其中 $r_{0}$ 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， $r_{1}$ 为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 $0.65 g / m^{3}$ 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.30$ ， $l g 3 \approx 0.48$ ）

A、12 B、13 C、14 D、15

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7. 已知抛物线 $T : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，直线l交抛物线T于A ， B两点，M为线段 $A B$ 的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N ，若 $| M F | = | A M |$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{6}$ B、 $2 + 4 \sqrt{6}$ C、 $. 4 + 2 \sqrt{6}$ D、 $4 + 4 \sqrt{6}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 32 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、直线 $C_{1} C_{2}$ 的方程为 $4 x - 3 y - 1 = 0$ B、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 共有4条公切线 C、若P ， Q分别是圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值为10 D、经过点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的所有圆中面积最小的圆的面积为 $\frac{25}{4} π$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有5个零点，则（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{6}{5}, \frac{23}{10})$ B、 $f (x)$ 的图象在 $(0, 2 π)$ 上有且仅有3个最高点 C、 $f (x)$ 的图象在 $(0, 2 π)$ 上最多有3个最低点 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{2} e^{x} - 2 l n x - x - a$ ，则（）

A、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有极小值 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有极大值 C、若 $f (x) \geq 0$ ，则 $a = 1$ D、函数 $f (x)$ 的零点最多有1个

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $c o s (α - \frac{π}{6}) - s i n α = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ ．

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13. 自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的基因型为 $A a$ ，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为 $a a$ 的子代因无法适应自然环境而被自然界淘汰．例如当亲代只有 $A a$ 的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：
雌
雄
$\frac{1}{2} A$
$\frac{1}{2} a$
$\frac{1}{2} A$
$\frac{1}{4} A A$
$\frac{1}{4} A a$
$\frac{1}{2} a$
$\frac{1}{4} A a$
$\times$
由上表可知，子一代中 $A A : A a = 1 : 2$ ，子一代产生的配子中A占 $\frac{2}{3}$ ， a占 $\frac{1}{3}$ ，以此类推，子七代中 $A a$ 的个体所占的比例为．

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14. 已知椭圆 $T : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆T上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率 $e =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $a s i n A - c s i n C = (a - b) s i n B$ ．

(1)、求C；

(2)、求 $s i n^{2} A + s i n^{2} B$ 的最大值．

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16. 如图，已知在圆柱 $O O_{1}$ 中，A ， B ， C是底面圆O上的三个点，且线段 $B C$ 为圆O的直径， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 为圆柱上底面上的两点，且矩形 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， D ， E分别是 $A A_{1}$ ， $C B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $△ B_{1} B C$ 是等腰直角三角形，且 $D E ⊥$ 平面 $C B B_{1}$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C$ 的夹角的正弦值．

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17. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．

(1)、若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．

(2)、记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（ $m > 2$ 且 $m \in N^{*}$ ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B的概率为p ．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用 $g (p)$ 表示恰有3组被标为B的概率，试求 $g (p)$ 的最大值及此时m的值．

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18. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\forall x > 0$ ， $f (x) \leq x {e^{2}}^{x} - 2 a x$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，右焦点F到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A ， B两点，其中O为坐标原点，求证： $△ A O B$ 的面积S是定值．

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雌	雄
雌	$\frac{1}{2} A$	$\frac{1}{2} a$
$\frac{1}{2} A$	$\frac{1}{4} A A$	$\frac{1}{4} A a$
$\frac{1}{2} a$	$\frac{1}{4} A a$	$\times$

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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