（人教版）云南省2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试卷（二）

试卷更新日期：2024-04-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $(2 \sqrt{3})^{2} = 6$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$

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2. 下列二次根式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{24}$

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3. 下列式子中，属于最简二次根式的是

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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4. 若代数式 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是 $($ $)$

A、x<1 B、x≤1 C、x>1 D、x≥1

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5. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）

A、2，3，4 B、3， $\sqrt{7}$ ， 5 C、5，12，13 D、4，4，8

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6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 $\frac{1}{2}$ AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）

A、2 B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{15}{8}$ D、 $\frac{15}{2}$

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7. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm ，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）

A、20cm B、30cm C、40cm D、20 $\sqrt{2}$ cm

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8. 如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（）

A、120cm B、130cm C、140cm D、150cm

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9. 如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E、F、H分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $C E$ 、 $D F$ 交于G ，连接 $A G$ 、 $H G$ ．下列结论：① $C E ⊥ D F$ ；② $A G ＝ A D$ ；③ $∠ C H G ＝ ∠ D A G$ ；④ $H G = \frac{1}{2} A D$ ，其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上的一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ 分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $O G$ ，则下列结论：（）

$① O G = \frac{1}{2} A B$ ；
$②$ 与 $△ E G D$ 全等的三角形共有 $2$ 个；
$③ S_{四边形 O D E G} = S_{四边形 A B O G}$ ；

$④$ 由点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 构成的四边形是菱形．

A、 $① ③ ④$ B、 $① ④$ C、 $① ② ③$ D、 $② ③ ④$

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O ， H为 $A D$ 边中点，菱形 $A B C D$ 的周长为24，则 $O H$ 的长是（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、12

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二、填空题

13. 化简二次根式 $\sqrt{\frac{4}{5}}$ 的结果为 .

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14. 要使二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是．

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15. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面 $1$ 米的点 $C$ 处折断，树尖 $B$ 恰好碰到地面，经测量 $A B = 2$ 米，则树高为米．

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16. 如图，已知 $▱$ ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 $▱$ ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(\frac{a + b}{a - b} + \frac{a}{b - a}) \div \frac{b^{2}}{a^{2} - a b}$ ，其中 $a 、 b$ 满足 $| a - \sqrt{3} | + \sqrt{b + 1} = 0$ .

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18. 阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道 ${(\sqrt{a})}^{2} = a (a \geq 0)$ ，
例题：求 $\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ 的值．
解：设 $x = \sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ ，两边平方得：
      $x^{2} = {(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} = {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} + {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} + 2 (\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})$ ，
即 $x^{2} = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} + 4$ ， $x^{2} = 10$ ，
      $∴ x = \pm \sqrt{10}$ ，
      $∵ \sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}} > 0$ ，
      $∴ \sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{10}$ ，
请利用上述方法，求 $\sqrt{4 - \sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}}$ 的值．

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19. 某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

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20. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，求斜边 $A B$ 和高 $C D$ 的长．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $A B$ 的长度；

(2)、已知 $D$ 是 $A B$ 上一点，连接 $C D$ ，当 $C D$ 的长度最短时，求 $A D$ 的长度．

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22. 如图所示，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.

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23. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.
求证：BE＝DF

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24. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．

(1)、若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系，位置关系；

(2)、如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
②当G为CF中点，BC＝2时，求线段AD的长．

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