（人教版）云南省2023-2024学年八年级下学期期中数学模拟试卷（一）

试卷更新日期：2024-04-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列各式中正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $\sqrt{x^{2}} = x$ C、 $\sqrt[3]{(- x)^{3}} = - x$ D、 $\sqrt{(- x)^{2}} = - x$

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2. 要使二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x > - 1$

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{12}$

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4. 若 $\sqrt{75}$ 与最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 是同类二次根式，则m的值为（）

A、7 B、11 C、2 D、1

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5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、 $2 ， 3 ， 4$ B、 $4 ， 5 ， 6$ C、 $7 ， 8 ， 9$ D、 $6 ， 8 ， 10$

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6. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则 $B D$ 的长为（）．

A、 $1.7$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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7. 如图，在 $4 \times 4$ 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $△ A B C$ 的面积为10 B、 $∠ B A C = 90 °$ C、 $A B = 2 \sqrt{5}$ D、点A到直线 $B C$ 的距离是2

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8.
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）

A、4 B、6 C、16 D、55

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9. 如图平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点E是 $C D$ 的中点，若 $B C = 6$ ，则 $O E$ 的长为（）

A、3 B、12 C、8 D、10

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $∠ E D C$ ： $∠ E D A = 1$ ： $2$ ，且 $D E = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A C$ 的长度是（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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11. 如图，将正方形纸片 $A B C D$ 折叠，使边 $A B ， C B$ 均落在对角线 $B D$ 上，得折痕 $B E ， B F$ ，则 $∠ E B F$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）

A、AB∥DC B、AC=BD C、AC⊥BD D、OA=OB

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二、填空题

13. 如果代数式 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 有意义，那么x的取值范围是.

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14. 计算： $\sqrt{3}$ × $\sqrt{5}$ ＝.

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15. 如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ，且S₁＝9，S₃＝25，当S₂＝时∠ACB＝90°．

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16. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m ， A D = 7 c m$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A D$ 于点E，交 $C D$ 的延长线于点F，则 $D F =$ cm．

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三、解答题

17. 已知： $a = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ，求： $a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}$ 的值．

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18. 【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如： $2 \times \frac{1}{2} = 1$ ，我们就说2和 $\frac{1}{2}$ 互为倒数．
【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如： $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，可得 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 互为倒数．

即 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ ．

类似的， $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$ ．

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ；（ $n$ 为正整数）

(2)、若 $\frac{1}{2 \sqrt{2} + m} = 2 \sqrt{2} - m$ ，则 $m$ ＝；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ．

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19. 小明家装修，电视背景墙长BC为 $\sqrt{27}$ m，宽AB为 $\sqrt{8}$ m，中间要接一个长为 $2 \sqrt{3}$ m，宽为 $\sqrt{2}$ m的大理石图案（图中阴影部分），除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）

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20. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千 $O A$ 静止的时候，踏板离地高一尺（ $A C = 1$ 尺）将它往前推进两步（ $E B = 10$ 尺），此时踏板升高离地五尺（ $B D = 5$ 尺），求秋千绳索 $O B$ 的长度．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ B C A = 60 °$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $D A = 1$ ， $C D = 3$ ．求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点 $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 的中点．

求证： $D E / / B C$ ， $D E = \frac{1}{2} B C$ ．

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23. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的两个动点，且满足 $A E = B F$ ．

(1)、求 $D B$ 的长；

(2)、判断 $△ D E F$ 的形状；

(3)、设 $△ D E F$ 的周长为 $l$ ，求 $l$ 的最小值．

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24. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两个动点，分别从 $A$ ， $C$ 同时出发相向而行，速度均为 $1 c m / s$ ，运动时间为 $t$ 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

(1)、若 $G$ ， $H$ 分别是 $A B$ ， $D C$ 中点，求证：四边形 $E G F H$ 始终是平行四边形．

(2)、在(1)条件下，当 $t$ 为何值时，四边形 $E G F H$ 为矩形．

(3)、若 $G$ ， $H$ 分别是折线 $A - B - C$ ， $C - D - A$ 上的动点，与 $E$ ， $F$ 相同的速度同时出发，当 $t$ 为何值时，四边形 $E G F H$ 为菱形．

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