人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 18.2特殊的平行四边形

试卷更新日期：2024-04-08 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG=30°，有下列结论：①DC=3OG；②OG= $\frac{1}{2}$ BC；③连结AF，CE，四边形AECF为菱形；④ $S_{△ A O E} = \frac{1}{6} S_{矩形 A B C D}$ 其中正确的是（）

A、②③ B、③④ C、①②④ D、①③④

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2. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $A C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别与 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，连接 $D E$ ， $B O$ ．若 $∠ C O B = 60 °$ ， $F O = F C$ ，则下列结论：① $F B ⊥ O C$ ， $O M = C M$ ；② $△ E O B ≌ △ C M B$ ；③四边形 $E B F D$ 是菱形；④ $M B ： O E = 3 ： 2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P ，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（　　）

A、2+2 $\sqrt{3}$ B、4 C、4 $\sqrt{3}$ D、6

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 上一动点， $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $D F ⊥ B C$ 于 $F$ ，点 $P$ 为 $E F$ 中点，则 $P D$ 的最小值为（）

A、 $2.4$ B、 $4.8$ C、 $6$ D、 $8$

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5. 在正方形 $A B C D$ 中，点E、F在对角线 $A C$ 上， $A C = 18$ ，若点E、F是 $A C$ 的三等分点，点P在正方形 $A B C D$ 的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，则此过程中满足 $P E + P F$ 为整数的点P个数为（）

A、38 B、36 C、20 D、22

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，已知点 $P$ 是线段 $A B$ 上的一个动点（点 $P$ 与点 $A$ 不重合），作 $C Q ⊥ D P$ 交 $A D$ 于点 $Q$ ．现以 $P Q$ ， $C Q$ 为邻边构造平行四边形 $P E C Q$ ，连接 $B E$ ，则 $∠ B E P + ∠ P Q C$ 的最小值为（）

A、 $90 °$ B、 $45 °$ C、 $22.5 °$ D、 $60 °$

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7. 如图，以直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$ 为边在三角形 $A B C$ 的同侧作正方形 $A B D E$ ，正方形的对角线 $A D$ ， $B E$ 相交于点 $O$ ，连接 $C O$ ，如果 $A C = 1$ ， $C O = 2 \sqrt{2}$ ，则正方形 $A B D E$ 的面积为（）

A、20 B、22 C、24 D、26

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为边 $A B$ 、 $C D$ 的中点， $B D$ 是对角线， $A G ∥ D B$ ，交 $C B$ 的延长线于 $G$ ，连接 $G F$ ，若 $A D ⊥ B D$ ．下列结论：① $D E ∥ B F$ ；②四边形 $B E D F$ 是菱形；③ $S_{△ B F G} = \frac{1}{4} S_{平行四边形 A B C D}$ ；④ $F G ⊥ A B$ ．其中正确的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④

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9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形 $A B C D$ 与正方形 $E F G H$ ，点O为对角线 $A C$ 的中点， $M N$ 过点O，分别交 $C H$ ， $A F$ 于点M，N，若 $M G = 3 M H$ ， $A C = 2 M N$ ，连 $C F$ ．则 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{正方形 A B C D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$

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10. 如图，在正方形ABCD中，延长DC至点 $G$ ，以CG为边向下画正方形CEFG.延长AB交边FG于点 $H$ ，连结CF，AF分别交AH，CE于点 $M$ ， $N$ ，在清朝四库全书的《几何通解》中，利用此图得到了： $2 A B^{2} + 2 B H^{2} =$ $A H^{2} + M H^{2}$ .若 $S_{△ A C F} = 30$ ，且正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，则AH的长为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{17}$ C、 $5 \sqrt{2} + 4$ D、 $5 \sqrt{2} + 2$

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二、填空题

11. 正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为.

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12. 如图，定义：若菱形 AECF 与正方形ABCD的两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD 的内部，则称菱形AECF 为正方形ABCD 的内含菱形.若正方形的周长为16，其内含菱形的边长是整数，则内含菱形的周长为；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为.

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上 $.$ 若 $A E = 2 \sqrt{10}$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，则 $A F$ 的长为．

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14. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是.

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15. 已知直线 $l$ 的解析式为 $y = 2 x + 2$ ，菱形 $A O B A_{1}$ ， $A_{1} O_{1} B_{1} A_{2}$ ， $A_{2} O_{2} B_{2} A_{3}$ ， …按图所示的方式放置，顶点 $A$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …均在直线 $l$ 上，顶点 $O$ ， $O_{1}$ ， $O_{2}$ ， …均在 $x$ 轴上，则点 $A_{100}$ 的坐标是．

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三、解答题

16. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=9 cm，CD= $3 \sqrt{2}$ cm，∠B=45°，点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)．．

(1)、求BC边上的高AE的长度．

(2)、连结AN，CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形？

(3)、作MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？

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17. 如图，在▱ABCD中，AB=6 cm，BC=10 cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线相交于点 F，连结 CE，DF.

(1)、求证：四边形CEDF 是平行四边形.

(2)、①当AE= cm时，四边形CEDF 是菱形，请说明理由.
②当 AE= cm时，四边形 CEDF 是矩形，请说明理由.

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18. 如图，四边形 ABCD为正方形，E 为对角线AC 上一点，连结 DE，过点 E 作EF⊥DE，交BC于点 F，以DE，EF为邻边作矩形 DEFG，连结 CG.

(1)、求证：矩形 DEFG 是正方形.

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2} ， C E = 2 ，$ 求 CG 的长.

(3)、当 $∠ A D E = 40 °$ 时，求∠EFC的度数.

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19. 在四边形 $A B C D$ 中， $B C = C D$ ，对角线 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ，点 $H$ 为 $C D$ 边上一点，连接 $B H$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $∠ A F H = ∠ B A C + ∠ B H C$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上， $B E = C F$ ， $A E$ 交 $B H$ 于点 $N$ ， $A L ⊥ B H$ 于点 $L$ ，若 $∠ A B C = 60 °$ ，求证： $A N = 2 N L$ ．

(3)、如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下， $H$ 为 $C D$ 的中点，点 $G$ 在 $B H$ 上，点 $M$ 在 $A E$ 上，连接 $A G$ ， $C M$ ， $A G = 5$ ， $C M = 2 \sqrt{5}$ ，若 $∠ A G B = 2 ∠ E M C$ ，求线段 $B H$ 的长，

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20. 如图，正方形 $A B C O$ 的边 $O A ， O C$ 都在坐标轴上，点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 3)$ ，将正方形 $A B C O$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $a (0^{∘} < a < 9 0^{∘})$ ，得到正方形 $A D E F$ ， $E D$ 交线段 $O C$ 于点 $G$ ， $E D$ 的延长线交线段 $B C$ 于点 $P$ ，连接 $A P$ ， $A G$ ．

(1)、求证： $△ A O G ≅ △ A D G$ ；

(2)、求 $∠ P A G$ 的度数；

(3)、当 $∠ 1 = ∠ 2$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(4)、在（3）的条件下，直线 $P E$ 上是否存在点 $M$ ，使以点 $A$ ， $G ， M$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在请说明理由．

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