重庆市渝中区2024年重点学校保送生数学试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：中考模拟

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一、填空题（每题7分，共70分）

1. 有1、2、﹣2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了﹣2次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为．

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2. 已知 $a - \frac{1}{a} = 1$ ，则 $[\frac{a (2 a - 5)}{a - 2} - a - 2] \div \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 4 a + 4} - \frac{11}{a + 4}$ 的值为．

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3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为．

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4. 将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为 $4 + 4 \sqrt{5}$ ，则图1中sin∠CEB＝．

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5. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} x - m ⩽ - 1 \\ \frac{x + 1}{2} - \frac{x}{4} > - 1 \end{array}$ 有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{1}{y - 1} + 3 = \frac{m y}{1 - y}$ 的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为．

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6. 若实数p、q，满足 $\frac{1}{p^{4}} + \frac{1}{p^{2}} = 8, q^{2} - q = 8$ ，且 $q > 0$ ，则 $\frac{1}{p^{2}} + q$ 的值为．

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7. 如图所示，已知锐角△ABC中， $A B = \sqrt{10}$ ， BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE位置，恰好使得CE⊥BC于C，且CE＝BC，连接BD，则BD的长为．

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8. 我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，则下列说法正确的是（填序号）．
① $[1 - \sqrt{5}] = - 2$ ；
②如 $[\frac{1}{2} m + 1] = - 2$ ，则实数m的取值范围是﹣6≤m＜4；
③若1＜|x|＜2且 ${x} = \sqrt{2} - 1$ ，则 $x = \pm \sqrt{2}$
④方程5[x]+2＝{x}+4x的实数解有4个．

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9. 如果一个四位自然数 $\bar{a b c d}$ 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 $\bar{a b} + \bar{c d} = \bar{b c}$ ，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵14+28＝42，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为35+26≠52，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数 $\bar{a b c}$ 与后三个数字组成的三位数 $\bar{b c d}$ 的和能被9整除，则满足条件的所有“神奇数”的平均数是．

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10. 如图所示，平面直角坐标中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，S_△OAB＝ $9 \sqrt{2}$ ，将△OAB沿OB翻折至△OA^'B，反比例函数 $y = \frac{12 \sqrt{2}}{x}$ 恰好经过点B和点A^' ，连接A^'C交x轴于点M，则点M的坐标为．

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二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分）

11. 近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．

(1)、十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？

(2)、十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了 $\frac{4}{5}$ m%．小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战购买数量在十月份基础上增加了5m%，精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了4m%，结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值．

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12. 如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿AB边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，△DOF的面积为y₁ ， △BEF的面积为y₂（y₁≠0，y₂≠0）．

(1)、请直接写出y₁、y₂关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围．

(2)、在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数y₁的一条性质．

(3)、结合函数图象，求出△DOF和△BEF面积相等时的t的值．

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13. 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（参考数据sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8 $s i n 2 2^{°} = c o s 6 8^{°} \approx \frac{3}{8}$ ， sin17°＝cos73°≈0.3）

(1)、浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？

(2)、若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知MO＝8m，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽MN中（即点P恰好在直线MN上）？

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14. 平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ $\frac{1}{3} x^{2} + a x + b (a$ ，均为常数）与y轴相交于点A，与x轴相交于B（﹣3 $\sqrt{3}, 0), C (\sqrt{3}, 0)$ 两点，连接AB，过点C作CD∥AB交抛物线于点D．

(1)、求出该抛物线的函数表达式及点D的坐标；

(2)、如图1，已知点G是线段AB上方抛物线上一点，过点G作GP∥y轴交CD于P，在线段AC和线段CD上分别有两个动点K、L，且满足KL＝2，M是KL的中点，当GP+DP取得最大值时，在线段AB上是否存在一点R，使得RP+RM的值最小？若存在，请求出P点的坐标以及RP+RM的最小值；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，E是线段BO上一定点，且满足OE：OB＝4 $\sqrt{3}$ ：9，连接AE，将线段AE沿y轴向下平移6个单位至HF，连接EF，T是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转90°，应对点分别是A^'、H^' ．在旋转过程中，当△EA^'H^'是直角三角形时，请直接写出此时A^'的坐标．

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