重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年八年级下学期数学入学考试试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：开学考试

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一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）

1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知下图中的两个三角形全等，则∠1 的度数是（）

A、76° B、50° C、54 D、60°

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3. 若分式 $\frac{2}{a + 1}$ 有意义，则a的取值范围是( )

A、a=0 B、a=1 C、a≠-1 D、a≠0

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$ B、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = 8 x^{6}$ C、 $(2 x - y) (2 x + y) = 2 x^{2} - y^{2}$ D、 $2 x (- y + 2 x) = - 2 x y + 4 x^{2}$

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5. 一种病毒的直径约为 0.0000252 米， 0.0000252 米用科学记数法表示是（）

A、 $0.252 \times 1 0^{- 4}$ B、 $2.52 \times 1 0^{- 6}$ C、 $2.52 \times 1 0^{- 5}$ D、 $2.52 \times 1 0^{- 3}$

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6. 直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄，欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离之和最短的方案是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列说法中，正确的是（）

A、三角形的高都在三角形内部 B、三角形的一个外角大于任意一个内角 C、等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合 D、三角形三条角平分线交于一点且交点到三角形三边距离相等

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8. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, ∠ B A C$ 的平分线 A E 交 B C 于点 $E, E D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，若 $△ A B C$ 的周长为 12 ，则 $△ B D E$ 的周长为 4 ，则 A C 为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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9. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 3 a - x \leq 3 x + a \\ \frac{x - 1}{3} + 1 \leq \frac{1}{3} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y}{y - 1} + \frac{7}{1 - y} = 1$ 的解为整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是（）

A、6 B、8 C、13 D、15

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10. 有 $n$ 个依次排列的整式，第一个整式为 $9 x^{2}$ ，第二个整式为 $9 x^{2} + 6 x + 1$ ，第二个整式减去第一个整式的差记为 $a_{1}$ ，将 $a_{1} + 2$ 记为 $a_{2}$ ，将第二个整式加上 $a_{2}$ 作为第三个整式，将 $a_{2} + 2$ 记为 $a_{3}$ ，将第三个整式与 $a_{3}$ 相加记为第四个整式，以此类推. 以下结论正确的个数是（）
① $a_{3} = 6 x + 5$ ；②当 $x = 2$ 时，第四个整式的值为 81 ；③若第三个整式与第二个整式的差为 21 ，则 $x = 3$ ；④第 2024 个整式为 $(3 x + 2023)^{2}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）

11. 计算： $(- \sqrt{2})^{0} - \sqrt{9} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + | 2 - \sqrt{6} | =$

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12. 因式分解： $a^{3} - 9 a =$ .

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13. 若一个正 $n$ 边形的每个内角为 $14 4^{°}$ ，则这个正 $n$ 边形的边数是

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14. 若 $a^{2} - 2 a - 4 = 0$ ，则 $\frac{a}{a^{2} + 3 a - 4}$ 的值为

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15. 如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是 .

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16. 如图，将长方形纸片 A B C D 沿着 D E 翻折，使得点 $C$ 落在 A D 边上的点 $C^{^{'}}$ 处，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着 A E 翻折，使得点 $D$ 落在点 $D^{^{'}}$ 处. 若 $∠ B E D^{^{'}} = 1 5^{°}$ ，则 $∠ E A C^{^{'}} =$

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17. 在 $x$ 轴上有点 $A (1, 0)$ ，在 $y$ 轴上有点 $B (0, - 1)$ ，点 $C$ 在坐标轴上，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，则满足条件的点 $C$ 最多有个.

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18. 若一个四位正整数 $\bar{a b c d d}$ 满足 $a + c = b + d$ ，我们就称该数是 “振兴数” ，则最小的 “振兴数” 是若一个 “振兴数” $m$ 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被 5 整除. 则满足条件的 “振兴数” $m$ 的最小值为

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三、解答题：（本大题 8 个小题，第 19 题 8 分，其余每题各 10 分，共78分）

19. 计算：

(1)、 $x^{2} \cdot x^{3} \cdot x^{4} + {(x^{3})}^{3} - {(- 2 x^{4})}^{2} x$ .

(2)、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1} \div \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

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20. 解分式方程：

(1)、 $\frac{3}{x - 2} - \frac{x}{2 - x} = - 2$ ；

(2)、 $\frac{2}{x - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为BC上的一点，AD平分 $∠ E D C$ ，且 $D E = D C, ∠ E A B = ∠ B D E$ .

(1)、求证： $A B = A C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 5 0^{°}$ ，求 $∠ E$ 的度数.

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22. 化简求值 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x} \div (x - 2 + \frac{3}{x + 2})$ ，其中 $x$ 是绝对值不大于 2 的整数.

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，点 $D$ 在边 A B 上， $B D = B C$ .

(1)、作 $∠ B$ 的平分线，交AC于点 $E$ （尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的条件下，连接 C D， D E. 求证： B E 垂直平分 C D.
证明： $∵ B E$ 为 $∠ A B C$ 的平分线，
$∴ ∠ C B E =$ ▲
$∵ B D = B C, B E = B E,$
在 $△ B D E$ 和 $△ B C E$ 中
$\{\begin{array}{l} B D = B C \\ Δ \\ B E = B E \end{array}$
$∴ △ B D E ≅ △ B C E$ （）
$∴$ ▲
$∴$ ▲两点都在 CD 的垂直平分线上，
$∴ B E$ 垂直平分 CD.

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24. 开州区某校为举行六十周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的 $\frac{3}{10}$ .

(1)、求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？

(2)、若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多 $20 %$ ，而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？

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25. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 $\frac{1}{2}$ ，我们称这两个角互为 “和谐角”，这个三角形叫做 “和谐三角形” .
例如：在 $△ A B C$ 中，如果 $∠ A = 7 0^{°}, ∠ B = 3 5^{°}$ ，那么 $∠ A$ 与 $∠ B$ 互为 “和谐角”， $△ A B C$ 为 “和谐三角形”.
问题 1：如图 1， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, ∠ A = 6 0^{°}$ ，点 $D$ 是线段 A BB 上一点（不与 A、B 重合），连接CD

(1)、如图 1，△ABC 是“和谐三角形”吗？为什么？

(2)、如图 1，若 $C D ⊥ A B$ ，则 $△ A C D 、 △ B C D$ 是 “和谐三角形” 吗？为什么？

(3)、问题 2：如图 2，△ABC 中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 CD，若△ACD 是“和谐三角形”，求∠ACD 的度数．

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26. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．

(1)、如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；

(2)、如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；

(3)、如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关系，并证明你的猜想．

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重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年八年级下学期数学入学考试试卷

一、选择题： （本大题 10 个小题， 每小题 4 分， 共 40 分）

二、填空题 （本大题 8 个小题， 每小题 4 分， 共 32 分）

三、解答题：（本大题 8 个小题，第 19 题 8 分，其余每题各 10 分，共78分）

一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）

二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）