湖南省岳阳市汩罗市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：开学考试

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 关于 $\sqrt{8}$ 的叙述不正确的是（）

A、 $\sqrt{8}$ =2 $\sqrt{2}$ B、面积是8的正方形的边长是 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{8}$ 是有理数 D、在数轴上可以找到表示 $\sqrt{8}$ 的点

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2. 一个整数 $815550 ⋯ 0$ 用科学记数法表示为 $8.1555 \times 1 0^{10}$ ，则原数中“0”的个数为（）

A、4 B、6 C、7 D、10

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3. 下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算中，结果是a⁷的是（）

A、 $a^{3} - a^{4}$ B、 $a^{3} + a^{4}$ C、 $a^{3} \cdot a^{4}$ D、 $a^{3} \div a^{4}$

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5. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位： $c m$ )的平均数与方差为： ${\bar{x}}_{甲} = {\bar{x}}_{丙} = 13$ ， ${\bar{x}}_{乙} = {\bar{x}}_{丁} = 15$ ； $s_{甲}^{2} = s_{丁}^{2} = 3.6$ ， $s_{乙}^{2} = s_{丙}^{2} = 6.3$ .则麦苗长得又高又整齐的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、如果|a|=1，那么a=1 B、一组对边平行的四边形是平行四边形 C、如果a是有理数，那么a是实数 D、对角线相等的四边形是矩形

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7. 如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 观察下列等式：2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，…，根据这个规律，则2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰²⁰的末位数字是（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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二、填空题（每小题4分，共32分）

9. 如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式 $m^{2019} + 2020 n + c^{2021}$ 的值为.

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10. 分解因式： $a^{3} b - a b^{3} =$ ．

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11. 关于x的一元二次方程x²+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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12. 抛物线 $y = 3 (x - 2)^{2} + 5$ 的顶点坐标是.

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13. 某药店在防治新型冠状病毒期间，市场上抗病毒药品紧缺的情况下将某药品提价100%，物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是.(填百分数)

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14. 如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60⁰、45⁰ ，如果无人机距地面高度CD为 $100 \sqrt{3}$ 米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米.(结果保留根号)

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15. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S = $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ 现已知△ABC的三边长分别为1，2， $\sqrt{5}$ ，则△ABC的面积为

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16. 如图，直线 $y = \sqrt{3} x$ ，点 $A_{1}$ 坐标为（1，0），过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线于点 $B_{1}$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O B_{1}$ 长为半径画弧交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ；再过点 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线于点 $B_{2}$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O B_{2}$ 长为半径画弧交 $x$ 轴于点 $A_{3}$ ；…，按此做法进行下去，点 $A_{2020}$ 的坐标为.

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三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 计算： $| - 2 | - \sqrt{3_{}^{2}} + {(π - 3.14)}_{}^{0} - \sqrt{8} s i n 4 5_{}^{∘}$

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18. 先化简， $1 - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1} \div \frac{x - 1}{x}$ ，然后从—1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值。

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19. 如图，一次函数 $y = x + 4$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数且 $k \neq 0$ ）的图象交于 $A (- 1 ， a)$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ .

(1)、求此反比例函数的表达式；

(2)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $S_{Δ A C P} = \frac{3}{2} S_{Δ B O C}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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20. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：

频数频率分布表

成绩x（分）	频数（人）	频率
50≤x＜60	10	0.05
60≤x＜70	30	0.15
70≤x＜80	40	n
80≤x＜90	m	0.35
90≤x≤100	50	0.25

根据所给信息，解答下列问题：

(1)、m= ， n=；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、这200名学生成绩的中位数会落在分数段；

(4)、若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

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21. 预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县需要8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县，消毒液的运费价格如下表(单位：元/吨)，设从C县调运x吨到A县.
起点 \ 终点
A县
B县
C县
60
100
D县
35
70

(1)、求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式.

(2)、求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

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22.
如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.73）

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23. 已知正方形ABCD，点M是边AB的中点．

(1)、如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；②求证：BE²=BC•CE．

(2)、如图2，在边BC上取一点E，满足BE²=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．

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24. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象经过点 $C (0 ， 3)$ ，与 $x$ 轴分别交于点 $A$ ，点 $B (3 ， 0)$ .点 $P$ 是直线 $B C$ 上方的抛物线上一动点.

(1)、求二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的表达式；

(2)、连接 $P O$ ， $P C$ ，并把 $Δ P O C$ 沿 $y$ 轴翻折，得到四边形 $P O P' C$ .若四边形 $P O P' C$ 为菱形，请求出此时点 $P$ 的坐标；

(3)、当点 $P$ 运动到什么位置时，四边形 $A C P B$ 的面积最大？求出此时 $P$ 点的坐标和四边形 $A C P B$ 的最大面积.

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起点 \ 终点	A县	B县
C县	60	100
D县	35	70