广东省惠州市尚书实验分校2023-2024学年八年级上册12月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 以下列各组数据为三角形的三边，能构成三角形的是（）

A、4，8，7 B、3，4，7 C、2，3，7 D、5，2，2

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3. 若一个多边形的每个外角都是 $30 °$ ，则这个多边形的边数为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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4. 下列计算正确的是（）

A、(ab) ²＝a²b² B、2(a＋1)＝2a＋1 C、a²＋a³＝a⁶ D、a⁶÷a²＝a³

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5. 如图，点F、C在 $B E$ 上，且 $△ A B C ≌ △ D E F$ ．若 $B C = 7 ， C F = 5$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、2 B、5 C、7 D、12

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6. 分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的x，y都扩大2倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大2倍 C、扩大4倍 D、缩小2倍

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ，若 $B D = 3$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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8. 已知（a+b）²＝49，a²+b²＝25，则ab＝（）

A、24 B、48 C、12 D、2 $\sqrt{6}$

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9. 如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A、 $△ A B C$ 三条角平分线的交点 B、 $△ A B C$ 三条高所在直线的交点 C、 $△ A B C$ 三条中线的交点 D、 $△ A B C$ 三边的垂直平分线的交点

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10. 如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）

11. 计算： ${(- 2)}^{2023} \times {(\frac{1}{2})}^{2023} =$ ．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 50 °$ ， $∠ B = ∠ C = x °$ ，则 $x$ 的值是．

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13. 设ΔABC 三边分别为 a、b、c，其中 a，b 满足 $| a + b - 6 |$ ＋（a－b－4）² =0，则第三边 c的取值范围为．

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14. 如图是由射线 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 组成的平面图形，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$ °．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $4 ， ∠ D A B = 60 °$ ，点E为 $B C$ 边的中点，点P为对角线 $A C$ 上一动点，则 $P B + P E$ 的最小值为．

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16. 如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝.

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三、解答题（一）（本大题共4小题，17、18每题4分，19、20每题6分，共20分）

17. 计算： $(x + 5 y) (5 y - x)$

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18. 已知：如图， $A B = C D ， A D = B C$ ，求证： $△ A B D ≌ △ C D B$ ．

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19. 先化简，再求值： $(2 x + y) (2 x - y) - {(x - 3 y)}^{2} + (x - y) (x + 2 y)$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = - \frac{2}{3}$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $B C$ 的中垂线，交 $A B$ 于点D；（要求保留作图痕迹）

(2)、连接 $C D$ ，若 $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，求 $△ A C D$ 的周长．

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四、解答题（二）（本大题共3小题，21题8分，22、23每题10分，共28分）

21. $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 中点， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于 $F$ ，求证： $D E = D F$ ．

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22. 如图， $D E ⊥ A B$ 于 $E ， D F ⊥ A C$ 于F，若 $B D = C D ， B E = C F$ ，

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、已知 $A C = 10 ， B E = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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五、解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分）

23. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ ，由于 $x^{2} - 2 x + 3 = {(x - 1)}^{2} + 2$ ，所以当 $x - 1$ 取任意一对互为相反数的数时，多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 的值是相等的，例如，当 $x - 1 = \pm 1$ ，即 $x = 2$ 或 $0$ 时， $x^{2} - 2 x + 3$ 的值均为3；当 $x - 1 = \pm 2$ ，即 $x = 3$ 或-1时， $x^{2} - 2 x + 3$ 的值均为6，于是小明给出一个定义：关于 $x$ 的多项式，若当 $x - t$ 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 $x = t$ 对称，例如 $x^{2} - 2 x + 3$ 关于 $x = 1$ 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：

(1)、多项式 $x^{2} - 4 x + 6$ 关于 $x =$ 对称；

(2)、若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} + 2 b x + 3$ 关于 $x = 3$ 对称，求 $b$ 的值；

(3)、若整式 $(x^{2} + 8 x + 16) (x^{2} - 4 x + 4)$ 关于 $x = m$ 对称，试直接写出实数 $m$ 的值．

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24. 在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

(1)、如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）

(2)、如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；

(3)、如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．

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