广东省肇庆市高新区2023-2024学年九年级下册数学三月质量检测试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的答案写在答题卡.

1. 2024的相反数是（）

A、 $— \frac{1}{2024}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $- 2$ 024 D、2024

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2. 在 $- \sqrt{5}, - 2, - \frac{2}{7}$ ， 0这四个数中，最小的数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{2}{7}$ D、0

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $3 a^{2} - 2 a^{2} = 1$ C、 ${(- 2 a)}^{3} = - 8 a^{3}$ D、 $a^{3} \div a^{3} = a$

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4. 已知 $a < b$ ，下列不等式变形中正确的是（　　）

A、 $a - 2 > b - 2$ B、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $5 a + 2 > 5 b + 2$

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5. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）

A、 $a^{2} b + a b^{2} = a b (a + b)$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ C、 $x (x - y) = x^{2} - x y$ D、 $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$

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6. 下列根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ C、 $\sqrt{23}$ D、 $\sqrt[3]{2}$

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7. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（）

A、 $2.15 \times 1 0^{7}$ B、 $0.215 \times 1 0^{8}$ C、 $2.15 \times 1 0^{6}$ D、 $21.5 \times 1 0^{6}$

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8. 一元二次方程 $x^{2} - b x - 5 = 0$ 的两根分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $x_{1} + x_{2} = 4$ ，则b的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有多少人？该物品价值多少元？如果设有人，该物品值 $y$ 元，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 9 x + 4 = y \\ 8 x + 5 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 9 x - 4 = y \\ 8 x + 5 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 9 x + 4 = y \\ 8 x - 5 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 9 x - 4 = y \\ 8 x - 5 = y \end{array}$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 2)$ ，且与轴交于点 $(x_{1}, 0) 、 (x_{2}, 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1, - 2 < x_{2} < - 1$ ，则在结论① $4 a - 2 b + c < 0$ ；② $2 a - b < 0$ ；③ $b^{2} + 8 a > 4 a c$ ；④ $a + 1 < 0$ 中，正确的个数有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）

11. 分解因式：3x²﹣6xy= ．

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12. 使函数 $y = \sqrt{x + 3}$ 有意义的的取值范围是．

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13. 已知点 $P (a + 1, 2 a - 3)$ 关于原点的对称点在第一象限，则a的取值范围是．

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14. 若 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程 $x - 2 y + m = 0$ 的解，则 $m =$ ．

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15. 分式方程 $\frac{2}{x} = \frac{5}{x - 3}$ 的解是．

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16. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝．

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三、解答题（一）（17、18每题4分，19、20每题6分，共20分）

17. 计算： $\sqrt{18} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(π - 4)}^{0} + | 1 - \sqrt{2} |$ ．

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 3 < 2 x \\ \frac{x}{6} - \frac{1}{3} \leq \frac{x + 2}{2} \end{array}$ ，并把它的解集表示在数轴上．

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19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{m + 1}) \cdot \frac{m^{2} - 1}{m}$ ，其中 $m = \sqrt{2} + 1$ ．

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20. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？

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四、解答题（二）（21题8分，22、23每题10分，共28分）

21. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量 $y$ （台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价（元）
…
50
60
70
…
月销量 $y$ （台）
…
90
80
70
…

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？

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22. 《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 $y$ （单位： $c m$ ）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位： $c m$ ）的反比例函数，当 $x = 6$ 时， $y = 2$ ．

(1)、求 $y$ 关于的函数解析式；

(2)、若火焰的像高为 $3 c m$ ，求小孔到蜡烛的距离．

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23. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A B = 6 c m, B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿边 $A B$ 向点B以 $1 c m / s$ 的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度移动， $P 、 Q$ 两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、若 $P 、 Q$ 两点的距离为 $4 \sqrt{2} c m$ 时，求的值？

(2)、当为何值时，∆BPQ的面积最大？并求出最大面积．

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五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）

24. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．

(1)、素材1：国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n ，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1：检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．

(2)、素材2：图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 $n = \frac{1}{θ} (0.5 \leq θ \leq 10)$ ．
探究2：当 $n \geq 1.0$ 时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．

(3)、素材3：如图3，当确定时，在A处用边长为 $b_{1}$ 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为 $b_{2}$ 的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3：若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + m$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1)、求此抛物线的函数解析式.

(2)、点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

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销售单价（元）	…	50	60	70	…
月销量 $y$ （台）	…	90	80	70	…