湖北省襄阳市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下面四个有理数中，最小的是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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2. 下列各式中，计算结果等于 $a^{2}$ 的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3}$ B、 $a^{5} \div a^{3}$ C、 $a^{2} + a^{3}$ D、 $a^{5} - a^{0}$

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3. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是 $75 %$ ，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（）

A、必然事件 B、不可能事件 C、随机事件 D、确定性事件

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5. 五边形的外角和等于（）

A、180° B、360 ° C、540° D、720°

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6. 将含有 $45 °$ 角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若 $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2$ 度数（）

A、 $30 °$ B、 $20 °$ C、 $15 °$ D、 $10 °$

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7. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（）

A、 $x ⩽ 1$ B、 $x > 1$ C、 $- 1 < x$ D、 $- 1 < x ⩽ 1$

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $A C$ 平分 $∠ B A D$ B、 $A B = B C$ C、 $A C = B D$ D、 $A C ⊥ B D$

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9. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为 $x$ 步，根据题意列方程正确的是（）

A、 $2 x + 2 (x + 12) = 864$ B、 $x^{2} + (x + 12) 2 = 864$ C、 $x (x - 12) = 864$ D、 $x (x + 12) = 864$

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10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + k$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）

11. 5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家 $A$ 级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为．

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12. 古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是．

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13. 点 $A (1, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“ $>$ ”或“ $<$ ” $)$

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $E$ 在 $C D$ 的延长线上．若 $∠ A D E = 70 °$ ，则 $∠ A O C =$ 度． $?$

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15. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从 $A$ 点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度 $y (m)$ 与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是 $y = - \frac{1}{5} (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{7}{2}$ ．下列说法正确的是（填序号）． $?$
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 $3.5 m$ ；
②篮球出手点距离地面的高度为 $2.25 m$ ．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点，将 $B C D$ 沿 $B D$ 折叠得到 $Δ B E D$ ，连接 $A E$ ．若 $D E ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $B C = 10$ ，则 $A F$ 的长为．

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三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 化简： $(1 - \frac{a}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - a}{a^{2} - 1}$ ．

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18. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用 $x$ 表示成绩，分成五组： $A . 75 ⩽ x < 80$ ， $B . 80 ⩽ x < 85$ ， $C . 85 ⩽ x < 90$ ， $D . 90 ⩽ x < 95$ ， $E . 95 ⩽ x ⩽ 100)$ ．
①八年级学生成绩在 $D$ 组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图） $:$
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
92
100
57.4
八年级
92.6
$m$
100
49.2
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取八年级学生的样本容量是；

(2)、频数分布直方图中， $C$ 组的频数是；

(3)、本次抽取八年级学生成绩的中位数 $m =$ ；

(4)、分析两个年级样本数据的对比表，你认为年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八” $)$ ；

(5)、若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有人．

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19. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点 $C$ 处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离 $C E$ 为 $32 m$ ，从热气球 $C$ 看铜像顶部 $A$ 的俯角为 $45 °$ ，看铜像底部 $B$ 的俯角为 $63.4 °$ ．已知底座 $B D$ 的高度为 $4 m$ ，求铜像 $A B$ 的高度．（结果保留整数．参考数据： $s i n 63.4 ° \approx 0.89$ ， $c o s 63.4 ° \approx 0.45$ ， $t a n 63.4 ° \approx 2.00$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$ ．

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20. 如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、作边 $A B$ 的垂直平分线，分别与 $A B$ ， $A C$ 交于点 $E$ ， $F$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $F B$ ，若 $∠ D = 140 °$ ，求 $∠ C B F$ 的度数．

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21. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 3 - k = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若方程的两个根为 $α$ ， $β$ ，且 $k^{2} = α β + 3 k$ ，求 $k$ 的值．

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $O$ 是 $B C$ 的中点， $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $D$ ，与 $B C$ 交于点 $E$ ， $F$ ， $D G$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $G F$ 的延长线交 $A C$ 于点 $H$ ，且 $G H ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 2$ ， $G H = 3$ ，求 $\hat{D E}$ 的长 $l$ ．

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23. 在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为 $m$ 元 $/$ 支，肉串的成本为 $n$ 元 $/$ 支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用） $:$
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．

(1)、求 $m$ 、 $n$ 的值；

(2)、五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串 $x$ 支，店主获得海鲜串的总利润为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价 $a (0 < a < 1)$ 元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求 $a$ 的最大值．

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24. 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} O$ 绕点 $O$ 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 $\frac{1}{4}$ ．想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $P$ 落在线段 $O C$ 上， $\frac{P A}{P C} = k (k$ 为常数）．

(1)、【特例证明】
如图1，将 $R t Δ P E F$ 的直角顶点 $P$ 与点 $O$ 重合，两直角边分别与边 $A B$ ， $B C$ 相交于点 $M$ ， $N$ ．
①填空： $k =$ ▲ ；
②求证： $P M = P N$ ．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明 $Δ P A M ≅ Δ P B N$ ；也可过点 $P$ 分别作 $A B$ ， $B C$ 的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②． $)$

(2)、【类比探究】
如图2，将图1中的 $Δ P E F$ 沿 $O C$ 方向平移，判断 $P M$ 与 $P N$ 的数量关系（用含 $k$ 的式子表示），并说明理由．

(3)、【拓展运用】
如图3，点 $N$ 在边 $B C$ 上， $∠ B P N = 45 °$ ，延长 $N P$ 交边 $C D$ 于点 $E$ ，若 $E N = k P N$ ，求 $k$ 的值．

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25. 在平面直角坐标系中，直线 $l : y = k x + b$ 经过抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + 2 m^{2} - m (m \neq 0)$ 的顶点．

(1)、如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 $P$ ．
①求抛物线的解析式并直接写出点 $P$ 的坐标；
② $t ⩽ x ⩽ t + 1$ 时， $y$ 的最小值为2，求 $t$ 的值；
③当 $k = 2$ 时．动点 $E$ 在直线 $l$ 下方的抛物线上，过点 $E$ 作 $E F / / x$ 轴交直线 $l$ 于点 $F$ ，令 $S = E F$ ，求 $S$ 的最大值．

(2)、当抛物线不经过原点时，其顶点记为 $Q$ ．当直线 $l$ 同时经过点 $Q$ 和（1）中抛物线的顶点 $P$ 时，设直线 $l$ 与抛物线的另一个交点为 $B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $A$ ．若 $| Q B - Q A | ⩾ 1$ ，直接写出 $k$ 的取值范围．

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年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	92	92	100	57.4
八年级	92.6	$m$	100	49.2

次数	数量（支）		总成本（元）
次数	海鲜串	肉串	总成本（元）
第一次	3000	4000	17000
第二次	4000	3000	18000