广西北部湾经济区2024年中考数学模拟试卷（4月份）

试卷更新日期：2024-04-08 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. $2$ 的相反数是（）

A、 $\pm 2$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $2$

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2. 在下列现象中，属于平移的是（）

A、小亮荡秋千运动 B、升降电梯由一楼升到八楼
C、时针的运行过程 D、卫星绕地球运动

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3. 下列说法不正确的是（）

A、为了审核书稿中的错别字，选择普查
B、为了解春节联欢晚会的收视率，选择抽样调查
C、为了清楚地反映事物的变化情况，可选用扇形统计图
D、频数与总次数的比值是频率

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4. 下列命题是真命题的有个．（）
$①$ 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
$②$ 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
$③$ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
$④$ 有理数与数轴上的点一一对应；
$⑤$ 圆周率是一个无理数．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（）

A、 $12 - 6 x < 0$ B、 $12 - 6 x \leq 0$ C、 $12 - 6 x > 0$ D、 $12 - 6 x \geq 0$

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6. 如图， $C A ⊥ B E$ 于 $A$ ， $A D / / B C$ ，若 $∠ 1 = 54 °$ ，则 $∠ C$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $45 °$ D、 $54 °$

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7. 下列说法中，正确的是（）

A、一组数据 $- 2$ ， $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $1$ ， $2$ 的中位数是 $0$
B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式
C、购买一张福利彩票中奖是一个确定事件
D、分别写有三个数字 $- 1$ ， $- 2$ ， $4$ 的三张卡片 $($ 卡片的大小形状都相同 $)$ ，从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 $\frac{1}{3}$

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8. 如图，市政府准备修建一座高 $A B = 6 m$ 的过街天桥，已知天桥的坡面 $A C$ 与地面 $B C$ 的夹角 $∠ A C B$ 的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则坡面 $A C$ 的长度为（）

A、 $\frac{15}{2} m$ B、 $10 m$ C、 $\sqrt{10} m$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{2} m$

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9. 下列计算正确的是（）

A、 $3 a^{3} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{3}$ B、 $(- 4 a^{3} b)^{2} = 8 a^{6} b^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $- 2 a^{2} + 3 a^{2} = a^{2}$

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10. 甲、乙两人加工某种机械零件，已知甲每小时比乙多加工 $4$ 个，甲加工 $50$ 个所用的时间与乙加工 $40$ 个所用的时间相等 $.$ 设甲每小时加工 $x$ 个零件，则可列方程为（）

A、 $\frac{50}{x - 4} = \frac{40}{x}$ B、 $\frac{50}{x + 4} = \frac{40}{x}$ C、 $\frac{50}{x} = \frac{40}{x + 4}$ D、 $\frac{50}{x} = \frac{40}{x - 4}$

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11. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为2，则a的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、1

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12. 在平面直角坐标系中，函数 $y = - x + 1$ 与 $y = - \frac{3}{2} (x - 1)^{2}$ 的图象大致是（）

A、 B、
C、 D、

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13. $\sqrt{3} \times \sqrt{15} =$ ．

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14. 若分式 $\frac{| x | - 3}{3 - x}$ 的值为 $0$ ，则 $x =$ ．

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15. 掷一个骰子，观察向上的面的点数，则点数为奇数的概率为．

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16. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，蜡烛 $A B$ 在暗盒中所成的像 $C D$ 的高度是 $c m$ ．

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17. 已知a、b、c都是实数，若 $\sqrt{a - 2} + | 2 b + \frac{1}{2} | + {(c + 2 a)}^{2} = 0$ ，则 $\frac{a - c}{4 a + 8 b}$ $=$ ．

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18. 直线 $y = - x + 2 a ($ 常数 $a > 0)$ 和双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象有且只有一个交点 $B$ ，一次函数 $y = - x + 2 a$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $P$ 是线段 $O A$ 上的动点，点 $Q$ 在反比例函数图象上，且满足 $∠ B P O = ∠ Q P A .$ 设 $P Q$ 与线段 $A B$ 的交点为 $M$ ，若 $O M ⊥ B P$ ，则 $s i n ∠ A M P$ 的值为．

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三、计算题：本大题共2小题，共12分。

19. 计算： $- 2^{4} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{3}{8})$

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20. 计算：

(1)、 $x (1 - x)$ ；

(2)、 $(a - 1) (2 a + 3) - 2 a (a - 4)$ ；

(3)、 $\frac{x^{2}}{x - 1} - x - 1$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21. 有一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：AC平分∠BAD．

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22. 为了了解秦兵马俑的身高状况，某考古队随机调查了 $36$ 尊秦兵马俑，它们的高度 $($ 单位： $c m)$ 如下：
$172$ ， $178$ ， $181$ ， $184$ ， $184$ ， $187$ ， $187$ ， $190$ ， $190$ ， $175$ ， $181$ ， $181$ ， $184$ ， $184$ ， $187$ ， $187$ ， $190$ ， $193$ ， $178$ ， $181$ ， $181$ ， $184$ ， $187$ ， $187$ ， $187$ ， $190$ ， $193$ ， $178$ ， $181$ ， $184$ ， $184$ ， $187$ ， $187$ ， $190$ ， $190$ ， $196$ ．

(1)、这 $36$ 尊秦兵马俑高度的平均数、中位数和众数分别是多少？

(2)、你能据此估计出秦兵马俑的平均高度吗？

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23. 有这样一个问题：探究函数 $y = \frac{| x - 2 |}{2}$ 的图象与性质 $.$ 一位同学根据学习函数的经验，对函数 $y = \frac{| x - 2 |}{2}$ 的图象与性质进行了探究．

(1)、下面是这位同学的探究过程，请补充完整：
$①$ 函数 $y = \frac{| x - 2 |}{2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是_▲_；
$②$ 如表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，则 $m$ 的值是_▲_；

$x$

$\dots$

$- 2$

$- 1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

$\dots$

$y$

$\dots$

$2$

$1.5$

$1$

$0.5$

$0$

$0.5$

$m$

$1.5$

$2$

$2.5$

$3$

$\dots$
$③$ 如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象：

$④$ 观察此函数图象，写出一个正确的函数性质或者函数图象性质：_▲_．

(2)、直接写出：当 $x$ 时， $y \geq 2.5$ ．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $O D$ ， $O E$ ．

(1)、求证： $O E = \frac{1}{2} A C$ ；

(2)、填空：
$①$ 当 $∠ A =$ $°$ 时，四边形 $A O E D$ 是菱形；
$②$ 当 $∠ A =$ $°$ 时，四边形 $O B E D$ 的面积最大．

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25. 综合与探究
如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} m x^{2} - m x - 4 m (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $B$ 位于点 $A$ 的右边 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ， $P$ 是抛物线上的一动点，点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两点的坐标．

(2)、若 $m = 1$ ，点 $P$ 位于第四象限，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $B C$ 于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $E$ ，求 $P D + P E$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

(3)、在 $(2)$ 中 $P D + P E$ 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移 $5$ 个单位长度， $F$ 为点 $P$ 的对应点，平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $G$ ， $M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点 $.$ 在平移后的抛物线上确定一点 $N$ ，使得以 $F$ ， $G$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点 $N$ 的坐标．

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26. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $A B = A E$ ，连接 $E O$ 并延长交 $A D$ 于点 $F .$ 过点 $B$ 作 $A E$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $D F = B E$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 45 °$ ．
$①$ 求证： $∠ B A G = ∠ B G A$ ；
$②$ 探索 $D F$ 与 $C G$ 的数量关系，并说明理由．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$\dots$
$y$	$\dots$	$2$	$1.5$	$1$	$0.5$	$0$	$0.5$	$m$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$	$\dots$