广西壮族自治区南宁天桃教育集团2023-2024学年九年级下学期第二次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1. -2的倒数是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没 $\cdot$ 逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为（）

A、 $80.16 \times 1 0^{8}$ B、 $80.16 \times 1 0^{10}$ C、 $0.8016 \times 1 0^{10}$ D、 $8.016 \times 1 0^{9}$

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4. 下列计算正确的是（）

A、3a²﹣a² $=$ 3 B、（a²）³ $=$ a⁶ C、a²•a³ $=$ a⁶ D、a⁶÷a² $=$ a³

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5. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（）

A、调查邕江流域水质情况 B、了解全国中学生的心理健康状况 C、了解全班学生的身高情况 D、调查春节联欢晚会收视率

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6. 使二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、x≥1 B、x＞1 C、x≠1 D、x＜1

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7. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图面积为60π，则该圆锥的底面圆的半径长等于（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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8. 某学校开设了劳动教育课程．小韦从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小韦恰好选中“烹饪”的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为 $x$ ，则可列出关于 $x$ 的方程（）

A、 $4.2 (1 + x)^{2} = 2$ B、 $4.2 (1 + 2 x) = 2$ C、 $2 (1 + 2 x) = 4.2$ D、 $2 (1 + x)^{2} = 4.2$

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10. 如图， $Δ A B C ≌ Δ D E C$ ，点 $A$ 和点 $D$ 是对应顶点，点 $B$ 和点 $E$ 是对应顶点，过点 $A$ 作 $A F ⊥ C D$ ，垂足为点 $F$ ，若 $∠ B C E = 65 °$ ，则 $∠ C A F$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $65 °$

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11. 若点 $P (m, n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 上，则下列各点在抛物线 $y = a (x - 1)^{2}$ 上的是（）

A、 $(m, n + 1)$ B、 $(m + 1, n)$ C、 $(m, n - 1)$ D、 $(m - 1, n)$

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12. 如图，已知点A是一次函数 $y = \frac{1}{4} x (x \geq 0)$ 的图象上一点，过点A作x轴的垂线l ， B是l上一点（B在A上方），在 $A B$ 的右侧以 $A B$ 为斜边作等腰直角三角形 $A B C$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过点B ， C ，若 $Δ$ $O A B$ 的面积为16，则 $Δ$ $A B C$ 的面积是（）

A、3 B、4 C、6 D、12

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

13. 单项式-3ab的系数是．

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14. 分解因式：a²－36＝．

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15. 如图，在Rt $Δ$ ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2 B C$ ，则 $t a n A$ 为．

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16. 若正多边形的一个中心角为60°，则这个正多边形的一个内角等于°．

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，将矩形沿对角线 $B D$ 对折， $B C$ 的对应边 $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $P$ ，则 $P D$ 的长为．

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18. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为 $4 c m$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $1 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 向点 $B$ 匀速运动，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ ，交边 $A C$ 于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为边作等边三角形 $P Q D$ ，使点 $A$ ， $D$ 在 $P Q$ 异侧，当点 $D$ 落在 $B C$ 边上时，点 $P$ 需移动 $s$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

19. 计算： ${(\sqrt{3})}^{2} - (- 6) + (- 8) \div 2$ .

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20. 解不等式组： ${\begin{cases} 2 (x + 1) > x - 1 \\ \frac{x + 10}{3} \geq 2 x \end{cases}$ ，并用数轴确定不等式组的解集.

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21. 如图，已知 $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、请用尺规作边 $A C$ 的垂直平分线，交AC于点 $E$ ，交BC于点F，并连接 $D E$ （保留作图痕迹，不要求写作法）．

(2)、在（1）的条件下，若 $Δ A D E$ 的周长为3，求 $Δ A B C$ 的周长．

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22. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
初中学生视力情况统计表
视力
人数
百分比
0.6及以下
8
$4 %$
0.7
16
$8 %$
0.8
28
$14 %$
0.9
34
$17 %$
1.0
$m$
$34 %$
1.1及以上
46
$n$
合计
200
$100 %$

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、被调查的高中学生视力情况的样本容量为；

(3)、约定：视力达到1.0及以上视为视力良好．若该区有10000名中学生，估计该区有多少名中学生视力良好？并对视力保护提出一条合理化建议．

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23. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $∠ C = 65 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 相交于点 $D$ ， $E$ 为 $\overset{⌢}{A B D}$ 上一点，且 $∠ A D E = 40 °$ ．

(1)、求 $\overset{⌢}{B E}$ 的长；

(2)、若 $∠ E A D = 75 °$ ，求证： $C B$ 为 $⊙ O$ 的切线．

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24. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共13个班级参加．

(1)、比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在12场比赛中获得总积分为32分，问该班级胜负场数分别是多少？

(2)、投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中22个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于50分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球?

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25. 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $36 °$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C = 2$ ．

(1)、操作发现：将 $Δ A B C$ 折叠，使边 $B C$ 落在边 $B A$ 上，点 $C$ 的对应点是点 $E$ ，折痕交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $D E$ ， $D B$ ，
① $∠ A B C =$ $°$ ；
②设 $B C = x$ ，则 $C D =$ （用含 $x$ 的式子表示）；

(2)、进一步探究发现： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．

(3)、拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的 $Δ A B C$ 是黄金三角形．
如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 72 °$ ， $A B = 2$ ，求菱形较长对角线的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过点 $(2, 3)$ ，且交 $x$ 轴于点 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $B C$ 于点 $E$ ．
①当点P运动到抛物线顶点时，求此时 $Δ P D E$ 的面积．
②点 $P$ 在运动的过程中，是否存在 $Δ P D E$ 周长的最大值，若存在，请求出 $Δ P D E$ 周长的最大值及此时点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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视力	人数	百分比
0.6及以下	8	$4 %$
0.7	16	$8 %$
0.8	28	$14 %$
0.9	34	$17 %$
1.0	$m$	$34 %$
1.1及以上	46	$n$
合计	200	$100 %$