广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在 $△ O M N$ 中， $\vec{O N} - \vec{M N} + \vec{M O} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $2 \vec{M O}$ C、 $2 \vec{O M}$ D、0

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2. 复数 $z = i + 2 i^{2} + 3 i^{3}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $- 2$

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3. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 ${\vec{e}}_{1} = (- 1, 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (4, 9)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, - 2)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (- 2, 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, 9)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (4, 18)$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}, b = 1, B = \frac{π}{6}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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5. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且满足 $\vec{C D} = 3 \vec{B D}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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6. 将函数 $f (x) = c o s 2 x$ 图象上所有的点都向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $c o s (x + \frac{π}{6})$ B、 $c o s (4 x + \frac{π}{3})$ C、 $c o s (x - \frac{2 π}{3})$ D、 $c o s (x + \frac{2 π}{3})$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $s i n^{2} \frac{A}{2} = \frac{c - b}{2 c}$ （ $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边），则 $△ A B C$ 的形状可能是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形

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8. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为S ，则“三斜求积”公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ 若 $a^{2} s i n C = 2 s i n A$ ， ${(a + c)}^{2} = 6 + b^{2}$ ，则用“三斜求积”公式求得 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x)$ 的图象是由函数 $y = 2 s i n x c o s x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称

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10. 已知 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5 \sqrt{10}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{5} \vec{b}$

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11. （多选题） $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2, a = 2$ ，则（）

A、 $b c c o s A = 2$ B、 $b^{2} + c^{2} = 8$ C、角A的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、 $△ A B C$ 面积的最小值为 $\sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (x, y)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，且 $| \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\vec{b}$ 的坐标可以是.（写出一个即可）.

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13. 设 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $⟨ \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{c} ⟩ = \frac{π}{3}$ ， $⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩ = \frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 3$ ，求向量 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ 的模为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，且 $s i n^{2} A + c o s A = \frac{5}{4}$ ，则角 $A =$ ，当 $a = \sqrt{3}$ 时， $b c$ 的最大值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 若复数 $z = (m^{2} + m - 6) + (m^{2} - m - 2) i$ ，当实数m为何值时

(1)、z是实数；

(2)、z对应的点在第二象限．

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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17. 已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} s i n x ， - c o s x), \vec{b} = (c o s x, c o s x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = \frac{1}{2}$ 且 $b = \sqrt{3}$ .求 $a + c$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，且 $b c o s A + \sqrt{3} b s i n A = a + c$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的中线 $B D$ 长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R ，且 $| \vec{A O} | = 2 | \vec{O C} |$ ，设AB= $\vec{a}$ ， AC= $\vec{b}$

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A R}$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1, ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = 60 °$ ，求∠ARB的余弦值；

(3)、若H在BC上，且RH⊥BC ，设 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1, θ = \vec{a}, \vec{b}$ ，若 $θ \in [\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ ，求 $\frac{| \vec{C H} |}{| \vec{C B} |}$ 的范围.

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