浙江省2023-2024学年高一下学期3月四校联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}$ ， $A ∩ B = {2, 4}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1, 2, 4}$ B、 ${2, 3, 4}$ C、 ${2, 4, 6}$ D、 ${1, 4, 6}$

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2. 设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则“ $\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、非充分非必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (- 2, m)$ ， $\vec{c} = (2, - 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 2$ C、6 D、 $\frac{13}{2}$

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4. 在四边形ABCD中，O为任意一点，若 $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{O C} - \vec{O D} = \vec{0}$ ，则（）

A、四边形ABCD是矩形 B、四边形ABCD是菱形 C、四边形ABCD是正方形 D、四边形ABCD是平行四边形

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5. 在 $△ A B C$ 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A、 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ B、 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $A = 45 °$ C、 $a = 10$ ， $A = 45 °$ ， $B = 70 °$ D、 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $A = 60 °$

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6. 已知六边形ABCDEF为正六边形，且 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，以下不正确的是（）

A、 $\vec{D E} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{B C} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A F} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{B E} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{b}$

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7. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为 $45 °$ ，沿倾斜角为 $15 °$ 的斜坡向上走了90米到达B点（A ， B ， P ， Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为 $60 °$ ，则鼎湖峰的山高PQ为（）米

A、 $45 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ B、 $45 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ C、 $90 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $90 (\sqrt{3} + 1)$

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8. 已知点P是 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) (λ > 0)$ ，射线AP与边BC交于点D ，若 $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ，则 $| \vec{B C} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$ B、 $\vec{e_{1}} = (4, - 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (- \frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ C、 $\vec{e_{1}} = (2, 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (0, 0)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (2, 1)$

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10. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + 2 c o s^{2} ω x - 1 (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 C、 $y = f (x + \frac{π}{6}) c o s x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、若 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{11}{6} ， \frac{17}{6})$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， O为 $△ A B C$ 内的一点，设 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若O为 $△ A B C$ 的重心，则 $λ + μ = \frac{2}{3}$ B、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $λ + μ = \frac{25}{32}$ C、若O为 $△ A B C$ 的内心，则 $λ + μ = \frac{3}{8}$ D、若O为 $△ A B C$ 的垂心，则 $λ + μ = \frac{7}{16}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ， $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．已知 $a \neq b$ ， $c = 2$ ， $s i n A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $c o s^{2} A - c o s^{2} B = \sqrt{3} s i n A c o s A - \frac{\sqrt{3}}{2} s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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14. 已知函数 $f (x) = m s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4}) - s i n x + 2$ 在 $[\frac{π}{2}, 2 π]$ 上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值组成的集合是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, - 2)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (- 4, - 3)$ ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 的投影向量的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 已知函数 $f (x) = {(l o g_{2} x)}^{2} - l o g_{2} (x) - 2$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ ，求x的取值范围；

(2)、当 $\frac{1}{4} \leq x \leq 8$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC中点，E在边AB上，且 $B E = 2 E A$ ， AD与CE交于点O ．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、过点O作直线交线段AB于点G ，交线段AC于点H ，且 $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A H} = t \vec{A C}$ ，求t的值；

(3)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，求 $\frac{A B}{A C}$ 的值．

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18. 已知 $△ A B C$ 内角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ， $a c o s (B - C) + a c o s A = 2 \sqrt{3} c s i n B c o s A$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $B C = 2$ ，将射线BA和射线CA分别绕点B ， C顺时针旋转 $15 °$ ， $30 °$ ，旋转后相交于点D（如图所示），且 $∠ D B C = 30 °$ ，求AD ．

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19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a ， b ， c计算三角形面积的公式： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这个公式常称为海伦公式．其中， $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a ， b ， c计算三角形面积的公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，这个公式常称为“三斜求积”公式．

(1)、利用“三斜求积”公式证明三角形的面积公式 $S = \frac{1}{2} a c s i n B$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a + c = 8$ ， $t a n \frac{B}{2} = \frac{s i n A}{2 - c o s A}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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