浙江省四校联考2023-2024学年高二（下）月考数学试卷（3月份）

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + m y + m + 3 = 0$ 互相垂直，则 $m$ 为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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2. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，则“ $a_{2} > a_{1} > 0$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知直线 $3 x + 4 y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 相切于点 $T (0,1)$ ，圆心 $C$ 在直线 $x - y = 0$ 上，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ B、 $(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ C、 $(x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 13$ D、 $(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{2} = 12$ 且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 6$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}}$ 为（）

A、 $244$ B、 $243$ C、 $242$ D、 $241$

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5. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点 $.$ 若 $| A F_{1} | = 2 | F_{1} B |$ ， $| A B | = | B F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面的边长分别为 $2$ 和 $4$ ，且棱台的侧面与底面所成的二面角为 $60 °$ ，则此三棱台的表面积为（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $10 \sqrt{3}$ C、 $11 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{3}$

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7. 已知曲线 $y = \frac{a - x}{e^{x}}$ 存在过坐标原点的切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4,0]$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [0, + \infty)$ C、 $(- 4,0)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (0, + \infty)$

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8. 已知 $a = \frac{l n \sqrt{2}}{4}$ ， $b = \frac{1}{e^{2}}$ ， $c = \frac{l n \sqrt{3}}{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列求导正确的是（）

A、 $(l n 10)^{'} = \frac{1}{10}$ B、 $(x^{2} - \frac{1}{x})^{'} = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $(x e^{x})^{'} = (x + 1) e^{x}$ D、 $(c o s 3 x)^{'} = - s i n 3 x$

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10. 已知圆 $C$ ： $(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ ， $A (2,0)$ 、 $B (0,2)$ ，则（）

A、在圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $| B P | = 3$ B、在圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为 $5$ C、在圆 $C$ 上存在点 $P .$ 使得 $∠ A P B = 90 °$ D、在圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $| A P | = | B P | = 4$

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11. 如图所示，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、点 $A_{1}$ 到平面 $B D E$ 的距离为 $\sqrt{6}$ B、异面直线 $A C_{1}$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ C、三棱锥 $A_{1} - B D E$ 的外接球的表面积为 $11 π$ D、若点 $M$ 在底面 $A B C D$ 内运动，且点 $M$ 到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹为一个椭圆的一部分

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ ，则其渐近线方程是．

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13. 在数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 7$ ，若数列 ${l o g}_{2} (a_{n} + 1)$ 为等差数列，则 $S_{n} = \frac{1}{a_{2} - a_{1}} + \frac{1}{a_{3} - a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n + 1} - a_{n}} =$ ．

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14. 若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则 $m$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 27$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值与最小值．

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16. 已知公差不为 $0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{3} + b_{2} = - 1$ ， $a_{5} + b_{3} = - 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和，求使 $T_{n} + \frac{n}{b_{3}} \leq 0$ 成立的 $n$ 的取值范围．

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17. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ A D E$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $E F / / A B$ ， $A B = 2 E F$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、在线段 $A E$ 上是否存在点 $M$ ，使平面 $M A D$ 与平面 $M B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5} .$ 若存在，请说明点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} + a \ln (x + 1)$ 有两个极值点．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的两个极值点分别为 x₁ ， x₂且x₁<x₂ ，证明： $f (x_{2}) < 1 - \ln 2$

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $P (- 1,2)$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若线段 $P A$ ， $P B$ 交 $y$ 轴于 $M (0, m)$ ， $N (0, n)$ 两点，判断 $m + n$ 是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由．

(3)、若直线 $x = m y + n$ 交抛物线于 $C$ ， $D$ 两点， $M$ 为弦 $C D$ 的中点， $| C D | = 4 \sqrt{2}$ ，是否存在整数 $m$ ，使得 $△ P C D$ 的重心恰在抛物线上 $.$ 若存在，求出满足条件的所有 $m$ 的值，否则说明理由．

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