湖北省2024届高三下学期高中毕业生四月模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $(- 15, 12)$ B、0 C、 $- 3$ D、 $- 11$

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2. 已知集合 $A = {y | y = | x - 1 | + | x + 2 ∣}$ ， $B = {x | y = \frac{6}{\sqrt{10 - x^{2}}}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(\sqrt{10}, + \infty)$ B、 $[3, \sqrt{10})$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \sqrt{10}, 3]$

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3. 下面四个数中，最大的是（）

A、 $l n 3$ B、 $l n (l n 3)$ C、 $\frac{1}{l n 3}$ D、 ${(l n 3)}^{2}$

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4. 数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} + S_{m} = S_{n + m}$ ，（m ， $n \in N_{+}$ ）则 $a_{9} =$ （）

A、9 B、1 C、8 D、45

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5. 复数z= $\frac{m - 2 i}{1 + 2 i}$ （m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 函数 $f (x) = e^{x} - e^{\frac{1}{x}} - l n x^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）

A、228 B、210 C、240 D、238

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8. 抛物线 $Γ : x^{2} = 2 y$ 上有四点A ， B ， C ， D ，直线 $A C$ ， $B D$ 交于点P ，且 $\vec{P C} = λ \vec{P A}$ ， $\vec{P D} = λ \vec{P B} (0 < λ < 1)$ .过A ， B分别作 $Γ$ 的切线交于点Q ，若 $\frac{S_{\begin{array}{l} △ \end{array} A B P}}{S_{△ A B Q}} = \frac{2}{3}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）

A、0 B、4 C、8 D、16

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) + t (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}, t \in Z)$ 有最小正零点 $\frac{3}{4}$ ， $f (0) = 1$ ，若 $f (x)$ 在 $(4, \frac{9}{2})$ 上单调，则（）

A、 $ω = π$ B、 $ω = \frac{5}{3} π$ C、 $f (9) = 1$ D、 $f (9) = - 1$

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11. 如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面 $A B C$ 为锐角三角形，点D ， H ， E分别为棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $C_{1} A_{1}$ 的中点，且 $B C = 2 B_{1} C_{1} = 2$ ， $A C + A B = 4$ ；侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ ，则下列说法可能但不一定正确的是（）

A、该三棱台的体积最小值为 $\frac{7}{4}$ B、 $D H = \frac{\sqrt{11}}{2}$ C、 $V_{E - A D H} = \frac{1}{28} V_{A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}$ D、 $E H \in (\frac{3 \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{21}}{4})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 写出函数 $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{x}{e^{x}} - l n x$ 的一条斜率为正的切线方程：.

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13. 两个连续随机变量X ， Y满足 $X + 2 Y = 3$ ，且 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X + 1 \leq 0) = 0.14$ ，则 $P (Y + 2 > 0) =$ .

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14. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以实轴为直径作圆O ，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A ， B两点（B在第一象限），若 $B F_{2} = c$ ， $A F_{1}$ 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 9$ ，且 $a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} + 8$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $b_{n}^{2} = a_{n}$ ， $b_{n} b_{n + 1} < 0$ ，求 $S_{n}$ .

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16. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 和 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} + y^{2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率相同，设 $C_{1}$ 的右顶点为 $A_{1}$ ， $C_{2}$ 的左顶点为 $A_{2}$ ， $B (0, 1)$ ，

(1)、证明： $B A_{1} ⊥ B A_{2}$ ；

(2)、设直线 $B A_{1}$ 与 $C_{2}$ 的另一个交点为P ，直线 $B A_{2}$ 与 $C_{1}$ 的另一个交点为Q ，连 $P Q$ ，求 $| P Q |$ 的最大值.
参考公式： $m^{3} + n^{3} = (m + n) (m^{2} - m n + n^{2})$

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17. 空间中有一个平面 $α$ 和两条直线m ， n ，其中m ， n与 $α$ 的交点分别为A ， B ， $A B = 1$ ，设直线m与n之间的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，
图1 图2

(1)、如图1，若直线m ， n交于点C ，求点C到平面 $α$ 距离的最大值；

(2)、如图2，若直线m ， n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足 $P Q ∥ α$ ， $P Q ⊥ n$ 且 $P Q ⊥ m$ ，
（i）证明：直线m ， n与平面 $α$ 的夹角之和为定值；
（ii）设 $P Q = d (0 < d < 1)$ ，求点P到平面 $α$ 距离的最大值关于d的函数 $f (d)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + l n (x + 1)$ ， $a \in R$ ，

(1)、若对定义域内任意非零实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，均有 $\frac{f (x_{1}) f (x_{2})}{x_{1} x_{2}} > 0$ ，求a；

(2)、记 $t_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n}$ ，证明： $t_{n} - \frac{5}{6} < l n (n + 1) < t_{n}$ .

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19. 欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合 $X_{n} = {1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1}$ ，欧拉函数 $φ (n)$ 的值等于集合 $X_{n}$ 中与n互质的正整数的个数；记 $M (x, y)$ 表示x除以y的余数（x和y均为正整数），

(1)、求 $φ (6)$ 和 $φ (15)$ ；

(2)、现有三个素数p ， q ， $e (p < q < e)$ ， $n = p q$ ，存在正整数d满足 $M (d e, φ (n)) = 1$ ；已知对素数a和 $x \in X_{a}$ ，均有 $M (x^{a - 1}, a) = 1$ ，证明：若 $x \in X_{n}$ ，则 $x = M ({[M (x^{c}, n)]}^{d}, n)$ ；‘

(3)、设n为两个未知素数的乘积， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 为另两个更大的已知素数，且 $2 e_{1} = 3 e_{2} + 1$ ；又 $c_{1} = M (x^{e_{1}}, n)$ ， $c_{2} = M (x^{e_{2}}, n)$ ， $x \in X_{n}$ ，试用 $c_{1}$ ， $c_{2}$ 和n求出x的值.

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