湖南省娄底市2024届高三下学期3月高考仿真模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为（）

A、15 B、10 C、5 D、1

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2. 已知实数 $a$ ，且复数 $z = \frac{a + 2 i}{2 + i}$ 的实部与虚部互为相反数，则复数 $z$ 对应的点在复平面内位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 $△ A B C$ 中“ $s i n A = c o s B$ ”是“ $C = 9 0^{∘}$ ”的（）

A、必要不充分条件. B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}, - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴垂线交双曲线于 $A, B$ 两点， $△ F_{1} A B$ 为正三角形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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5. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 为 $P C$ 中点，则（）

A、 $B E$ $∥$ 平面 $P A D$ B、 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ C、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ D、 $D E = E B$

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6. 已知圆 $C : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ ，过点 $D (0, 1)$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点 $| M N | = 2 \sqrt{15}$ 时，直线 $l$ 的方程为（）

A、 $4 x + 3 y - 3 = 0$ B、 $3 x - 4 y + 4 = 0$ C、 $x = 0$ 或 $4 x + 3 y - 3 = 0$ D、 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 或 $3 x - 4 y + 4 = 0$ .

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7. 已知圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2, ∠ A D B = \frac{π}{4}, B D$ 是圆的直径， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 2$ ，则 $∠ A D C =$ （）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{7 π}{12}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 若直线 $e x - 4 y + e l n 4 = 0$ 是指数函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 图象的一条切线，则底数 $a =$ （）

A、2或 $\frac{1}{2}$ B、 $e$ C、 $\sqrt{e}$ D、 $e$ 或 $\sqrt{e}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 已知 $a, b, c$ 是空间中三条不同的直线， $α, β$ 是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（）

A、若 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ B、若 $α ⊥ β, a ⊥ α$ ，则 $a$ $∥$ $β$ C、若 $a$ $∥$ $b, a$ $∥$ $c, a$ $∥$ $α$ ，则 $b$ $∥$ $α$ 或 $c$ $∥$ $α$ . D、若 $a ⊥ α, b ⊥ β, a$ $∥$ $b$ ，则 $α$ $∥$ $β$ ，

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10. 对于事件 $A$ 与事件 $B$ ，若 $A \cup B$ 发生的概率是0.72，事件 $B$ 发生的概率是事件 $A$ 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则业件 $A$ 发生的概率为0.36 B、 $P (B ∣ A) = 2 P (A ∣ B)$ C、事件 $A$ 发生的概率的范围为 $[0.24, 0.36]$ D、若事件 $A$ 发生的概率是0.3，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 ${x ∣ x \neq 0, x \in R}$ ，对于任意非零实数 $x, y, x + y \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 满足： $f (x + y) (f (x) + f (y)) = f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 在 $(- ∞, 0)$ 上单调递减， $f (1) = 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = 2$ B、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (\frac{1}{2^{i}}) = 2^{2023} - 2$ C、 $f (x)$ 在定义域内单调递减 D、 $f (x)$ 为奇函数

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{3} x + φ) + | x - 2 |$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，则 $φ$ 可以为.（写出一个符合条件的 $φ$ 即可）

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13. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，下顶点为 $A$ ，过 $A 、 F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $B$ ，若直线 $l$ 的斜率为1，且 $| A B | = \frac{8}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的标准方程为.

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14. 龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过 $m$ 个关卡，分别为： $G_{1}, G_{2}, ⋯, G_{m}$ ，记挑战每一个关卡 $G_{k} (k = 1, 2, ⋯, m)$ 失败的概率为 $a_{k}$ ，其中 $a_{k} \in (0, 1), a_{1} = \frac{1}{3}$ .游戏规则如下：从第一个关卡 $G_{1}$ 开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若 $m = 2$ ，设龙年在闯关结束时进行到了第 $X$ 关， $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第 $k + 1$ 关的概率总等于闯到第 $k$ 关 $(k = 1, 2, ⋯, m - 1)$ 的概率的一半，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ $, n = 1, 2, ⋯, m$ .

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

15. 若抛物线 $Γ$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，设 $P, Q$ 是抛物线 $Γ$ 上两个不同的动点.

(1)、若 $| P F | = 3$ ，求直线 $P F$ 的斜率；

(2)、设 $P Q$ 中点为 $R$ ，若直线 $P Q$ 斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，证明 $R$ 在一条定直线上.

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16. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B$ ， $C D^{'}, A B ⊥ A D, A B = A D = 2, P B = C D = 4, P D = \sqrt{2} A D$ ，点 $E$ 为 $P B$ 中点， $D E ⊥ P C$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、已知点 $F$ 为线段 $A B$ 的中点，求直线 $E F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 13, A = \frac{2 π}{3}, b > c, △ A B C$ 的内切圆圆 $I$ 的面积为 $3 π$ .

(1)、求 $b, c$ 的值及 $c o s ∠ A B C$ ；

(2)、若点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $B, I, D$ 三点共线，试讨论在 $B C$ 边上是否存在点 $M$ ，使得 $\vec{B I} \cdot \vec{B M} = \vec{C I} \cdot \vec{C M}$ ？若存在，求出点 $M$ 的位置，并求出 $△ D B M$ 的面积；若不存在，请说明理由.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $f (x) ⩽ e^{x} - 1$ ；

(3)、设 $g (x) = f (x) - e^{2 x} + 2 a e^{x} - 4 a^{2} + 1 (a \in R)$ ，若存在实数 $x_{0}$ 使得 $g (x_{0}) ⩾ 0$ ，求 $a$ 的最大值.

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19. 设数集 $S$ 满足：①任意 $x \in S$ ，有 $x ⩾ 0$ ；②任意 $x, y \in S$ （ $x, y$ 可以相等），有 $x + y \in S$ 或 $| x - y | \in S$ ，则称数集 $S$ 具有性质 $P$ .

(1)、判断数集 $A = {0, 1, 2, 4}$ 和 $B = {0, 2, 4}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若数集 $C = {a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}}$ 且 $a_{i} < a_{i + 1} (i = 1, 2, ⋯, n - 1)$ 具有性质 $P$ .
（i）当 $n = 5$ 时，求证： $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}$ 是等差数列；
（ii）当 $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}$ 不是等差数列时，求 $n$ 的最大值.

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