广西壮族自治区来宾市2024届高三一模数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，则 $A \cap ∁_{R} B$ ＝（　　）

A、{x|0＜x≤2} B、{x|0＜x＜2} C、{x|1≤x＜3} D、{x|0＜x＜3}

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2. 复数 ${(1 + i)}^{3}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a = t a n 2$ ， $b = l g π$ ， $c = \sqrt{e}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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4. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{9}{7}$

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5. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）

A、12种 B、16种 C、20种 D、24种

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6. “ $b^{2} = a c$ ”是“ $a, b, c$ 成等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E ， F满足 $\vec{D_{1} E} = 2 \vec{E D}$ ， $\vec{B F} = 2 \vec{F B_{1}}$ ，则点E到直线 $F C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{35}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{35}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{5}$

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8. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作一条直线与C交于A ， B两点（不在坐标轴上），坐标原点为O ，若 ${| O A |}^{2} = a^{2} - b^{2}$ ， $| B F_{1} | = \frac{5 a}{3}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. ${(x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、二项式系数最大项为第五项 B、各项系数和为0 C、含 $x^{4}$ 项的系数为4 D、所有项二项式系数和为16

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10. 甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为 $P_{n} (n = 1, 2, ⋯)$ ，则下列结论正确的是（）

A、经过一次传球后，球在丙中概率为 $\frac{1}{4}$ B、经过两次传球后，球在乙手中概率为 $\frac{2}{9}$ C、经过三次传球后，球在丙手中概率为 $\frac{7}{27}$ D、经过n次传球后， $P_{n} = \frac{1}{4} [1 - {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}]$

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11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）（）

A、底面直径为1，高为 $\sqrt{3}$ 的圆锥 B、底面边长为1，高为0.8的正三棱柱 C、直径为0.8的球体 D、底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 根据气象统计，某地3月份吹西北风的概率为0.7，既吹西北风又下雨的概率为0.5，则该地3月在吹西北风的条件下下雨的概率为.

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13. 若曲线 $C_{1} : x^{2} + {(y - m)}^{2} = 4$ 与 $C_{2} : x^{2} - y^{2} = 0$ 的图象有3个交点，则 $m =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = l n | k x | (k > 0)$ ，动直线 $y = t$ 与 $f (x)$ 的图象分别交于A ， B两点，曲线 $y = f (x)$ 在点A和点B的两条切线相交于点C ，当 $△ A B C$ 为直角三角形时，它的面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{3} = 24$ ， $S_{5} = - 20$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求使 $\frac{S_{n}}{a_{n}} < 1$ 成立的n的取值集合.

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16. 在 $△ A B C$ 中，D为边 $B C$ 上一点，满足 $S_{△ A B D} = 2 S_{△ A C D}$ ，且 $∠ B A C + ∠ D A C = π$ .

(1)、证明： $A B = 3 A D$ .

(2)、若 $D C = A C$ ，求 $c o s ∠ B A C$ .

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $P B = P C = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $P D ⊥ A D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $P D = 1$ ，求二面角 $A - P D - C$ 的正弦值.

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $(\sqrt{6}, 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ .

(1)、求C的方程；

(2)、记C的左顶点为A ，直线 $l : x = \frac{2}{3}$ 与x轴交于点B ，过B的直线与C的右支于P ， Q两点，直线AP ， AQ分别交直线l于点M ， N ，证明O ， A ， M ， N四点共圆.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $m > 0$ 时，证明： $f (x) > x l n x - (m + 1) s i n x$ .

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