湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝（）

A、{x|1＜x≤2} B、{x|2＜x＜3} C、{x|3≤x＜4} D、{x|1＜x＜4}

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2. 若向量 $\vec{a} = (2, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (0, 1, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$ （　　）

A、5 B、8 C、10 D、12

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3. 设点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 上的一点， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆的两个焦点，若 $| F_{1} F_{2} | = 4 \sqrt{3}$ ，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} | =$ （）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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4. 4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（）

A、48 B、96 C、120 D、240

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5. 某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，连续答对两道题的概率为 $\frac{1}{2}$ .用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲选手答对第二道题”，则 $P (B | A)$ ＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 如图，一个装有水的密封瓶子，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，圆柱和圆锥的底面半径均为3，圆柱的高为6，圆锥的高为3，已知液面高度为7，则瓶子中水的体积为（）

A、 $\frac{181 π}{3}$ B、 $\frac{191 π}{3}$ C、 $\frac{170 π}{3}$ D、 $\frac{160 π}{3}$

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7. $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{l n x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $l g e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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8. 现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（）

A、180 B、150 C、120 D、210

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的复平面上对应点在第二象限 C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $z$ 的虚部为 $- 1$

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10. 已知 ${(\frac{1}{x} - 2 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）

A、 $n = 7$ B、只有第4项的二项式系数最大 C、各项系数之和为1 D、 $x^{5}$ 的系数为560

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11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 ${a_{n}}$ ，正方形数构成数列 ${b_{n}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} = \frac{n}{n + 1}$ B、1225既是三角形数，又是正方形数 C、 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + ⋯ + \frac{1}{b_{n}} < \frac{33}{20}$ D、 $\forall m \in N^{*} ， m \geq 2$ ，总存在 $p ， q \in N^{*}$ ，使得 $b_{m} = a_{p} + a_{q}$ 成立

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若函数 $f (x) = a x - l n x$ 在 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值，则实数a的值为．

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13. 已知抛物线： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，焦点为 $F$ ，若 $A 、 B$ 在抛物线上且在第一象限， $| A F | = 2, | B F | = 4,$ $| A B | = 3$ ，求直线 $A B$ 的斜率为．

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14. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用 $A_{i}$ 表示i号箱有奖品 $(i = 1, 2, 3, 4)$ ，用 $B_{i}$ 表示主持人打开i号箱子 $(i = 2, 3, 4)$ ，则 $P (B_{2} ∣ A_{3}) =$ ； $P (B_{2}) =$ .

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四、解答题:本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $s i n 2 C = \sqrt{3} s i n C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $b = 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，点 $(n, \frac{S_{n}}{3 n + 1})$ 在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，以及数列 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{n} - 10$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = ∠ P B C = 90 °, A D / / B C$ ， $B C = 2 A B = 2 A D = \sqrt{2} C D = 2$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若直线 $P D$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ，求二面角 $D - P C - B$ 的正切值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{e^{x}}$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 有极大值 $\frac{1}{e}$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) < \frac{x}{1 + x}$ .

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19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C： $y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从A沿曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到B点时，A点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到B点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = | \frac{Δ θ}{Δ s} |$ 为曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $Δ s$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 $K = \underset{Δ s \to 0}{l i m} | \frac{Δ θ}{Δ s} | = \frac{| y^{″} |}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 $y = f (x)$ 在点A处的一阶、二阶导数）

(1)、求单位圆上圆心角为60°圆弧的平均曲率；

(2)、求椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 在 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 处的曲率；

(3)、定义 $φ (y) = \frac{2 \sqrt{2} | y^{″} |}{{(1 + y^{'})}^{3}}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $f (x) = x l n x - 2 x$ 上存在两点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，且P ， Q处的“柯西曲率”相同，求 $\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ 的取值范围．

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