湖北省武汉市武昌区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设函数 $f (x) = x^{2} + x$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - 2 Δ x) - f (1)}{Δ x}$ =（）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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2. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为（）

A、 $9 x - y - 16 = 0$ B、 $9 x + y - 16 = 0$ C、 $6 x - y - 12 = 0$ D、 $6 x + y - 12 = 0$

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3. 若点 $P$ 是曲线 $y = x^{2} - l n x + 1$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $y = x - 2$ 的最小距离为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} - x$ 在区间 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ 存在单调递减区间，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- ∞, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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5. 函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设定义在 $[0, + ∞)$ 上的函数 $f (x) \neq 0$ 恒成立，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) - (x + 1) f^{'} (x) l n (x + 1) < 0$ ，则（）

A、 $2 f (1) > f (3) > 0$ B、 $2 f (1) < f (3) < 0$ C、 $2 f (3) > f (1) > 0$ D、 $2 f (3) < f (1) < 0$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{a x}{e^{x}} + l n x - x$ 有唯一的极值点 $t$ ，则 $f (t)$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, + \infty)$ B、 $[- 3, + ∞)$ C、 $(- 2, + \infty)$ D、 $(- 3, + \infty)$

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 a, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，且 $2 x_{2} - x_{1}$ 的最小值为 $l n 2$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{l n (l n \sqrt{2})}{2}$ C、 $- \frac{l n (l n \sqrt{3})}{2}$ D、 $- \frac{e}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x^{2}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 只有一个零点 B、 $f (x) \geq 0$ 恒成立 C、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处得到极大值 $\frac{1}{2 e}$ D、 $f (x)$ 是 $(0, + ∞)$ 上的增函数

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10. 已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为 $c h x = \frac{e_{}^{x} + e_{}^{- x}}{2}$ ，双曲正弦函数为 $s h x = \frac{e_{}^{x} - e_{}^{- x}}{2}$ ．则下列结论中正确的是（）

A、 $(c h x)' = s h x$ B、 ${(s h x)}_{}^{2} + {(c h x)}_{}^{2} = 1$ C、 $s h 2 x = 2 s h x \cdot c h x$ D、 $c h x$ 是奇函数

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11. 已知连续函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $g^{'} (\frac{3}{2} - \frac{2}{3} x)$ 为奇函数， $f (\frac{3}{4} + 2 x) - 2 x$ 的图象关于y轴对称，则（）

A、 $g' (3) = 0$ B、 $g (\frac{3}{4}) = g^{'} (\frac{3}{2})$ C、 $g^{'} (x)$ 在 $(0, 4)$ 上至少有2个零点 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} [g (\frac{3}{4} k) + g^{'} (\frac{3}{4} k)] = 2024$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3 l n x$ 的单调递减区间为.

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13. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2$ 在区间 $(a - 4, a)$ 上存在最小值，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 若存在 $a \in R$ 使对于任意 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ 不等式 $l n x \leq a x_{}^{2} + b x \leq (e_{}^{2} - 2 e) l n x + e$ 恒成立，则实数 $b$ 的最小值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1$ ，直线l： $y = 2 x - 2$ 与x轴交于点A ．

(1)、求过点A的 $f (x)$ 的切线方程；

(2)、若点B在函数 $f (x)$ 图象上，且 $f (x)$ 在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + (a^{2} - 1) x + b$ （a ， $b \in R$ ），其图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y - 3 = 0$ ．

(1)、求a ， b的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 5]$ 上的最大值．

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + a, a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数．

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18. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{a}{2} x^{2} - x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $g (x) = a f (x) + x$ 在 $x = 1$ 取极大值，求实数a的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当 $0 < m \leq 2$ 时，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{m}{a}$ .

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19. 给出下列两个定义：
I．对于函数 $y = f (x)$ ，定义域为 $D$ ，且其在 $D$ 上是可导的，若其导函数定义域也为 $D$ ，则称该函数是“同定义函数”.
II．对于一个“同定义函数” $y = f (x)$ ，若有以下性质：
① $f^{'} (x) = g (f (x))$ ；② $f (x) = h (f^{'} (x))$ ，其中 $y = g (x), y = h (x)$ 为两个新的函数， $y = f^{'} (x)$ 是 $y = f (x)$ 的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 $y = f (x)$ 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 $y = f (x)$ 称之为“双向导函数”，将 $y = g (x)$ 称之为“自导函数”.

(1)、判断函数 $y = t a n x$ 和 $y = l n x$ 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；

(2)、已知命题 $p : y = f (x)$ 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题 $q : f (x) = k \cdot a^{x} (k \in R, a > 0, a \neq 1)$ .判断命题 $p$ 是 $q$ 的什么条件，证明你的结论；

(3)、已知函数 $f (x) = (x^{a} - b) e^{x}$ .
①若 $f (x)$ 的“自导函数”是 $y = x$ ，试求 $a$ 的取值范围；
②若 $a = b = 1$ ，且定义 $I (x) = e^{x} f (x) - \frac{4}{3} k x^{3} + k x$ ，若对任意 $k \in [1, 2], x \in [0, k]$ ，不等式 $I (x) \leq c$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围.

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