吉林省吉林地区普通高中2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 复数 $z = s i n 1 + i c o s 1$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1}, x < 1, \\ \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 1 . \end{array}$ 若 $f (a) = 1$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、4 C、1或4 D、2

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3. 已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \geq 3) = 0.2$ ，则 $P (X > 1) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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4. 若互不相等的正数 $a, b, c$ 满足 $2 b = a + c$ ，则（）

A、 $l n a, l n b, l n c$ 成等差数列 B、 $l n a, l n b, l n c$ 成等比数列 C、 $e^{a}, e^{b}, e^{c}$ 成等差数列 D、 $e^{a}, e^{b}, e^{c}$ 成等比数列

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5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ B、 $f (x) = t a n x$ C、 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = l n x$

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6. 已知圆锥的侧面积是 $4 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $F_{1}, F_{2}$ 两点，点 $P$ 在直线 $l : x - y + 4 = 0$ 上，若以 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点的椭圆过点 $P$ ，则该椭圆的离心率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{26} - \sqrt{2}}{24}$

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8. 已知 $α, β$ 为锐角，且 $c o s (α + β) = \frac{2 s i n β}{s i n α}$ ，则 $t a n β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 1}, B = {x | | x | \leq 1}$ ，则（）

A、 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 $A ∩ B = {x | 0 < x \leq 1}$ C、 $A ∪ B = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ D、 $N^{*} ∩ B$ 的子集个数为2

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10. 在 ${(\frac{1}{x} - 2 \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、各二项式系数的和为64 B、各项系数的绝对值的和为729 C、有理项有3项 D、常数项是第4项

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11. 如图1，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ，且 $D C = 2 A B = 2 A D = 4, O$ 为 $B D$ 的中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 翻折，使得点 $A$ 到达 $A^{'}$ 的位置，构成三棱锥 $A^{'} - B C D$ （如图2），则（）

A、在翻折过程中， $A^{'} D$ 与 $B C$ 可能垂直 B、在翻折过程中，二面角 $A^{'} - B C - D$ 无最大值 C、当三梭锥 $A^{'} - B C D$ 体积最大时， $A^{'} D$ 与 $C O$ 所成角小于 $\frac{π}{3}$ D、点 $P$ 在平面 $A^{'} B D$ 内，且直线 $P C$ 与直线 $B C$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，若点 $P$ 的轨迹是椭圆，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的体积的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

12. 已知向量 $\vec{a} = (m, - 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | =$ 。

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13. “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用 $A_{1}, A_{2}, ⋯, A_{16}$ 表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达 $A_{6}$ 有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观 $A_{t}$ 的不同路线有 $a_{i}$ 条，其中 $1 \leq i \leq 16, i \in N$ ，记 $a_{2 n + 1} = m (1 \leq n \leq 7, n \in N)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} =$ （结果用 $m$ 表示）。

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14. 已知拋物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 作 $x$ 轴垂线，垂足分別为 $A_{1}, B_{1}$ ，直线 $A B_{1}$ 与直线 $l$ 交于 $P$ 点，则 $△ P A B$ 与 $△ P A_{1} B_{1}$ 的面积比值为。

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a c o s B - b c o s 2 A = c$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影向量是 $\frac{2}{3} \vec{A C}, a = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的面积。

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16. 如图，在四棱䧾锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P B = P C = 2 \sqrt{6}$ ， $P A = B C = 2 A D = 2 C D = 4, E$ 为 $B C$ 中点，点 $F$ 在梭 $P B$ 上（不包括端点）。

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若点 $F$ 为 $P B$ 的中点，求直线 $E F$ 到平面 $P C D$ 的距离．

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17. 已知点 $F (2, 0)$ ，直线 $l : x = 1$ ，动圆 $P$ 与直线 $l$ 相切，交线段 $P F$ 于点 $M$ ，且 $| P F | = \sqrt{2} | P M |$ ．

(1)、求圆心 $P$ 的轨迹方程，并说明是什么曲线；

(2)、过点 $F$ 且倾斜角大于 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，与 $P$ 的轨迹相交于两点 $M_{1}, M_{2}$ ，且 $\vec{F M} = λ \vec{F M_{1}} = μ \vec{F M_{2}} (λ, μ \in R)$ ，求 $λ + μ$ 的值及 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的取值范围。

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18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人。

(1)、依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：
单位：人
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计

(2)、为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出。
①求经过 $i$ 次传递后球回到甲的概率；
②记前 $m$ 次传递中球传到乙的次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望。
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ；
$E (\sum_{i = 1} X_{i}) = \sum_{i = 1} E (X_{i}) .$
附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + a)^{2}}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $m, n$ 分别是 $f (x)$ 的极小值点和极大值点，记 $M (m, f (m)), N (n, f (n))$ ．
①证明：直线 $M N$ 与曲线 $y = f (x)$ 交于除 $M, N$ 外另一点 $P$ ；
②在①结论下，判断是否存在定值 $t \in (a, a + 1)$ 且 $a \in Z$ ，使 $| M N | = t | P N |$ ，若存在，请求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。

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游客	短视频		合计
游客	收看	未看	合计
南方游客
北方游客
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828