重庆市梁平区2023-2024年八年级下学期数学第一次月考考试试卷（3月）

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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2. $\sqrt{x + 2}$ 有意义的 $x$ 取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{{(- 7)}^{2}}$ ＝﹣7 C、 $\sqrt{18}$ ＝3 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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4. 实数 $a$ 在数轴上对应的点的位置如图所示，则 $\sqrt{{(a - 4)}^{2}} - \sqrt{{(a - 11)}^{2}}$ 化简后为（）

A、 $7$ B、 $- 7$ C、 $15 - 2 a$ D、 $2 a - 15$

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5. 计算 $\sqrt{27} - \sqrt{8} \times \sqrt{\frac{3}{2}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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6. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）

A、14 B、20 C、23 D、26

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7. 估计 $\sqrt{5} \times (\sqrt{6} - \frac{1}{\sqrt{5}})$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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8. 用 $a 、 b 、 c$ 作三角形的三边，其中不能构成直角三角形的是（　　）

A、 $a^{2} = (b + c) (b - c)$ B、 $a : b : c ＝ 1 : \sqrt{3} : 2$ C、 $a ＝ 3^{2} ， b ＝ 4^{2} ， c ＝ 5^{2}$ D、 $a ＝ 5 ， b ＝ 12 ， c ＝ 13$

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9. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝ $4 \sqrt{6}$ ，则PE+PF的长是（）

A、 $4 \sqrt{6}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，O为对角线 $A C$ 的中点，E为正方形内一点，连接 $B E$ ， $B E = B A$ ，连接 $C E$ 并延长，与 $∠ A B E$ 的平分线交于点F，连接 $O F$ ，若 $A B = 2$ ，则 $O F$ 的长度为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．

11. 化简： $(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{5} - 2)$ = ．

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12. 若 $| 3 x - 9 | + \sqrt{3 y - 4} = 0$ ，求 $\sqrt{x y}$ = ．

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13. $\sqrt{a^{2} + 2 a + 2}$ -1的最小值是.

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14. 若最简二次根式 $2 m \sqrt{3 n}$ 、 $3 \sqrt{m + 2 n - 5}$ 是同类二次根式，则 $m - n =$ ．

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15. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点 $A$ ，则点 $A$ 表示的数为．

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， E为 $B C$ 的中点，连接 $A E ， D E$ ，以E为圆心， $E B$ 长为半径画弧，分别与 $A E ， D E$ 交于点M，N，则图中阴影部分的面积为．（结果保留 $π$ ）

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17. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 2}{3} > \frac{x}{2} + 1 \\ 4 x + a < x - 1 \end{array}$ 的解集为 $x < - 2$ ，且关于y的分式方程 $\frac{a + 2}{y - 1} + \frac{y + 2}{1 - y} = 2$ 的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．

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18. 对于一个四位自然数 $M$ ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称 $M$ 为“天真数”．如：四位数 $7311$ ， $∵ 7 - 1 = 6$ ， $3 - 1 = 2$ ， $∴ 7311$ 是“天真数”；四位数 $8421$ ， $∵ 8 - 1 \neq 6$ ， $∴ 8421$ 不是“天真数”，则最小的“天真数”为；若一个“天真数” $M$ 的千位数字为 $a$ ，百位数字为 $b$ ，十位数字为 $c$ ，个位数字为 $d$ ，记 $P (M) = 3 (a + b) + c + d$ ， $Q (M) = a - 5$ ，若 $\frac{P (M)}{Q (M)}$ 能被10整除，则满足条件的 $M$ 的最大值为．

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三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19. 计算

(1)、 $\sqrt{8} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{27} - \sqrt{2})$

(2)、 $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{3}} \times 3 \sqrt{2}$

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20. 如图，在 $△ A C D$ 中，点B在边 $C D$ 上，连接 $A B$ ，已知 $A B = 10 ， A C = 8 ， B C = 6 ， A D + B D = 26$ ．

(1)、求证： $∠ C = 90 °$ ；

(2)、求 $A D$ 和 $B D$ 的长．

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21. 先化简： $\frac{b a^{3} - a b^{3}}{a + b}$ 求当 $a = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ， $b = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ 时的值．

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22. 已知 $a$ ， b满足 $b^{2} - 10 b + 25 + \sqrt{a - 1} = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、如果一个三角形的三边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，请化简 $| 5 - 2 c | - \sqrt{c^{2} - 14 c + 49}$ ．

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23. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a ， b ，斜边长为c ，将它们拼合为图2的形状．

(1)、小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；

(2)、当 $a = 3$ ， $b = 4$ 时，求图2中空白部分的面积．

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24. 某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种，甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同.

(1)、求甲、乙两区各有农田多少亩.

(2)、在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同)，喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒 $\frac{50}{3}$ 亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩?

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25. 阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式是，将 $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =$ ；

(3)、利用上面所提供的解法．请化简 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} ⋯ \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ ；

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26. 我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形 $A B C D$ ， $A C ⊥ B D$ ，像这样的四边形称为“垂美四边形”．

(1)、探索证明
如图1，设 $A B = a$ ， $B C = b$ ， $C D = c$ ， $A D = d$ ，猜想 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ ， $d^{2}$ 之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．

(2)、变式思考
如图2， $B D$ ， $C E$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B D ⊥ C E$ ，垂足为O ， $B C = 2 D E$ ，设 $B C = m$ ， $A C = n$ ， $A B = k$ ，请用一个等式把 $m^{2}$ ， $n^{2}$ ， $k^{2}$ 三者之间的数量关系表示出来：．

(3)、拓展应用
如图3，在长方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，若四边形 $A B C E$ 为“垂美四边形”，且 $B C = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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