新疆乌鲁木齐市高新区（新市区）2024年中考数学摸底试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）

1. $\frac{2}{3}$ 的相反数是（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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2. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没 $\cdot$ 逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

A、 $80.16 \times 1 0^{8}$ B、 $8.016 \times 1 0^{9}$ C、 $0.8016 \times 1 0^{10}$ D、 $80.16 \times 1 0^{10}$

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3. 下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

A、 $2 a + 3 b = 6 a b$ B、 $a^{2} \cdot a = a^{2}$ C、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ D、 $3 a^{3} \cdot (- 4 a^{2}) = - 12 a^{5}$

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4. 如图，已知 $B M$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $B M / / A D$ ，若 $∠ A B C = 70 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $70 °$

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5. 下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A、扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势 B、对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式 C、甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是 $S_{甲}^{2} = 0.2$ ， $S_{乙}^{2} = 0.03$ ，则乙比甲稳定 D、有一种刮刮乐的中奖概率是 $\frac{1}{1000}$ ，则买1000张一定会有一次中奖

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6. 在 $Δ A B C$ 中，用尺规作图，分别以点 $A$ 和 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和 $N$ ．作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ．则下列结论不一定正确的是 $($ 　　 $)$

A、 $A B = A E$ B、 $A D = C D$ C、 $A E = C E$ D、 $∠ A D E = ∠ C D E$

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7. 扬帆中学有一块长 $30 m$ ，宽 $20 m$ 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度（花带等宽）．设花带的宽度为 $x$ $m$ ，则可列方程为 $($ 　　 $)$

A、 $(30 - x) (20 - x) = \frac{3}{4} \times 20 \times 30$ B、 $(30 - 2 x) (20 - x) = \frac{3}{4} \times 20 \times 30$ C、 $30 + 2 \times 20 x = \frac{1}{4} \times 20 \times 30$ D、 $(30 - 2 x) (20 - x) = \frac{1}{4} \times 20 \times 30$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $3 a + c = 0$ ；④当 $- 3 < x < 1$ 时， $a x^{2} + b x + c < 0$ ；其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5$ ． $O A : O D = 1 : 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1$ ， $2)$ D、 $(1 - \sqrt{5}$ ， $2)$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

10. 要使二次根式 $\sqrt{2 x - 5}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围为．

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x > 3 - x \\ \frac{x + 1}{3} ⩾ x - 1 \end{array}$ 的整数解为．

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12. 一家商店某种衣服按进价提高 $50 %$ 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利100元，则这件衣服的进价是元．

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13. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E ， ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝寸．

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14. 如图，正比例函数 $y_{1} = - 3 x$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点．点 $C$ 在 $x$ 轴负半轴上， $A C = A O$ ， $Δ A C O$ 的面积为12，则 $k =$ ．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A D$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积是64，则 $A C$ 的长为．

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三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 计算 $| 1 - \sqrt{3} | + (\frac{1}{2})^{- 1} - (π - 2024)^{0} + \sqrt{12}$ ．

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17. 先化简 $(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x}$ ，再从 $- 1$ ， 0，1，2中选择一个恰当的数代入求值．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，点 $O$ 为对角线 $B D$ 的中点，过点 $O$ 的直线 $l$ 分别与 $A D$ 、 $B C$ 所在的直线相交于点 $E$ 、 $F$ ．（点 $E$ 不与点 $D$ 重合）

(1)、求证： $Δ D O E ≅ Δ B O F$ ；

(2)、当直线 $l ⊥ B D$ 时，连结 $B E$ 、 $D F$ ，试判断四边形 $E B F D$ 的形状，并说明理由．

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19. 某班级上学期学习了《二次函数》，开学后为了解学生的掌握情况，对全班学生进行测试，并将成绩 $x$ （单位：分）分为如下5组 $(A : x < 60$ ； $B : 60 ⩽ x < 70$ ； $C : 70 ⩽ x < 80$ ； $D : 80 ⩽ x < 90$ ； $E : 90 ⩽ x ⩽ 100)$ 进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题；

(1)、全班共有 ▲ 名学生，补全频数分布图；

(2)、成绩在 $C$ 组： $70 ⩽ x < 80$ 的分数是：
70、71、72、72、74、77、78、78、78、79、79、79
在这次测试中，全班同学成绩的中位数是分．

(3)、 $E$ 组中有4名女生（甲、乙、丙、丁）和2名男生，老师准备从 $E$ 组的女生中抽取两名同学成为讲试卷的“小老师”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

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20. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本 $y$ （单位：元 $/ m^{2})$ 与其种植面积 $x$ （单位： $m^{2})$ 的函数关系如图所示，其中 $200 ⩽ x ⩽ 700$ ，乙种蔬菜的种植成本为50元 $/ m^{2}$ ．

(1)、当 $x$ 为多少 $m^{2}$ 时， $y$ 是35元 $/ m^{2}$ ；

(2)、设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为 $W$ 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使 $W$ 最小？

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21. 如图，已知在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，延长 $C A$ 到 $O$ ，使 $A O = A C$ ，以 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径作 $⊙ O$ 交 $B A$ 延长线于点 $D$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 4$ ，求图中阴影部分的面积．

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22. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $C (0, 3)$ 两点，并交 $x$ 轴于另一点 $B$ ，点 $M$ 是抛物线的顶点，直线 $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、若点 $H$ 是 $x$ 轴上一动点，分别连接 $M H$ ， $D H$ ，求 $M H + D H$ 的最小值；

(3)、若点 $P$ 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 $Q$ ，使得以 $D$ ， $M$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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