吉林省长春市朝阳区七校联考2023-2024学年九年级下学期期初数学试题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2的相反数是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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2. “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录，10909这个数用科学记数法表示为（）

A、 $0.10909 \times 1 0^{5}$ B、 $109.09 \times 1 0^{2}$ C、 $10.909 \times 1 0^{3}$ D、 $1.0909 \times 1 0^{4}$

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3. 如图，由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式组 ${\begin{cases} x - 2 > 1 \\ - 2 x \leq 4 \end{cases}$ 的解集为（）

A、 $x \geq - 2$ B、 $- 2 < x < 3$ C、 $x > 3$ D、 $- 2 \leq x < 3$

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5. 已知一次函数 $y = - 2 x + 3$ ，当 $0 \leq x \leq 5$ 时，函数y的最大值是（）

A、3 B、5 C、0 D、7

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6. 如图，已知直线 $a ∥ b$ ，直线l与直线a、b分别交于点A、B ，分别以点A、B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N ，作直线MN ，交直线b于点C ，连接AC ．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则∠ACB的大小为（）

A、90° B、95° C、100° D、105°

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7. 如图，点A、B、C、D、E在 $⊙ O$ 上， $∠ A C E = 25 °$ ， $∠ B D E = 15 °$ ，则圆心角∠AOB的大小为（）

A、90° B、85° C、80° D、40°

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8. 如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B ， D是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象上两点．若点D的坐标是 $(b, a)$ ，则 $a - b$ 的值为（）

A、3 B、2 C、-3 D、-2

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二、填空题（每小题3分，共18分）

9. 有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块，这a名男生和b名女生一共搬了块砖（用含a、b的代数式表示）

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10. 计算： $x^{2} \cdot x^{5} =$ ．

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11. 二次函数 $y = 2 x^{2} + 3 x - 2$ 与x轴有个交点．

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12. 如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的大小为．

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13. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ．将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点 $D^{'}$ 处，折痕为EF ，则 $△ F D D^{'}$ 的面积为．

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14. 若抛物线 $y = a x^{2} + 3 a x + c (a \neq 0)$ 恒在x轴下方，且符合条件的整数a有且只有一个，则实数c的最小值为．

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三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 先化简，再求值： ${(x + 2)}^{2} - (2 x^{2} + 4 x - 4)$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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16. 在一个不透明的袋子中装有三个球，上面分别标有数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余都相同．先将小球搅匀，小刚从袋中随机取出一个小球，记下数字后放回；再将小球搅匀，又从袋中随机取出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小刚两次所记的数字之和等于4的概率．

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17. 小明准备抄写600个汉字练习书法，原计划每天抄写相同数量的汉字．在抄写100个汉字后，为了提前完成任务，每天的练字数量是原来的2倍，结果共用7天完成了任务．求小明原来每天抄写汉字的个数．

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18. 如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、图①中，先画出圆心O ，然后在 $⊙ O$ 上画点D ，使 $A C = A D$ ．

(2)、图②中，在弧BC上画点E ，连接AE ，使AE平分∠CAB ．

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19. 某校数学兴趣小组对九年级同学体育成绩进行调查，他们随机抽查n名同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C ， D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的两幅统计图．

(1)、n的值为．

(2)、扇形统计图中A所占的百分比a的值为．

(3)、若某校九年级共有1200名同学，请估计九年级同学体育测试成绩在B级以上（含B级）的约有多少名．

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20. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东64°方向上的B处，求海轮所在的B处与灯塔P的距离．（结果精确到0.1海里）【参考数据： $s i n 64 ° = 0.90$ ， $c o s 64 ° = 0.44$ ， $t a n 64 ° = 2.05$ 】

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21. 某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示．

(1)、当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式．

(2)、若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米．

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22.

(1)、【证明体验】如图①，AD为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ．点E在AB上， $A E = A C$ ．
求证：DE平分∠ADB ．

(2)、【思考探究】
如图②，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G ．若 $F B = F C$ ， $D G = 2$ ， $C D = 3$ ，求BC的长．

(3)、【拓展延伸】
如图③．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD ， $∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ．点E在AC上， $∠ E D C = ∠ A B C$ ．若 $B C = 5$ ， $C D = 2 \sqrt{5}$ ．直接写出CE的长．

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23. 如图，在 $△ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $B C = 3$ ．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动．同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线BC运动，当点，到达点C时，P、Q同时停止运动．以PQ为对角线作矩形PNQM ， $P N ∥ A B$ ．设矩形PNQM和 $△ A C B$ 重叠部分面积为 $S (S > 0)$ ，点P运动的时间为t秒．

(1)、线段PQ的长为（用含t的代数式表示）．

(2)、当点N落在AC上时，求t的值．

(3)、当点N在 $△ A C B$ 内部时，球S与t的之间函数关系式．

(4)、连结AM ，当线段AM将矩形PNQM分成两部分的面积比1∶3时，直接写出t的值．

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24. 抛物线的顶点为 $A (3, 0)$ ，与y轴交于点 $B (0, - 4)$ ，点D为抛物线对称轴上的一点，以AB ， AD为邻边构造菱形ABCD ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、求点D坐标．

(3)、点P为抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ．
①当 $△ P A D$ 与 $△ B P C$ 的面积之差的绝对值为定值时，求该定值．
②设点P关于抛物线对称轴的对称点为 $P^{'}$ ，当点P在第四象限，且 $∠ P A P^{'}$ 等于菱形ABCD的一个内角时，直接写出m的值．

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