吉林省吉林市松花江中学2023-2024学年八年级第五次月考数学题

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、单项选择题(每小题2分，共12分)

1. 下列式子中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ D、 $\sqrt{1.4}$

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2. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $1 - \sqrt{5}$ C、 $- 1 + \sqrt{5}$ D、 $- 1 - \sqrt{5}$

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3. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）

A、BC=1，AC=2，AB= $\sqrt{3}$ B、BC：AC：AB=3：4：5 C、∠A+∠B=∠C D、∠A：∠B：∠C=3：4：5

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4. 若x为实数，在 $(\sqrt{2} + 1) □ x$ 的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $1 - \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业嘉嘉的得分为（）

A、25分 B、50分 C、75分 D、100分

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6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）

A、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x + 1)}^{2}$ B、 $x^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$ C、 ${(x - 4)}^{2} + 10 = x^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x - 4)}^{2}$

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二、填空题(每小题3分，共24分)

7. 计算 $\sqrt{9} + \sqrt{18} - \sqrt{27} =$ ．

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8. 比较大小： $4 \sqrt{2}$ $2 \sqrt{7}$ ． (用“>”、“<”或“＝”连接)

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9. 使式子 $\frac{1}{x - 3} + \sqrt{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是．

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10. 已知点A ， B ， C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是－2，点B是AC的中点，线段 $A B = \sqrt{3} + 1$ ，则点C表示的数是．

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11. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC ， $B C = 2 \sqrt{7}$ ， △ABC的面积为 $2 \sqrt{14}$ ，则AB＝．

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12. 下列运算：① $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ ；② $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$ ；③ $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ ；④ $3 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{15}$ ；⑤ ${(2 \sqrt{2})}^{2} = 16$ ．其中正确的是． (填序号)

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13. 如图，在5×5的网格中，每个格点小正方形的边长均为△ABC的三个顶点A ， B ， C都在网格点的位置上，则△ABC的边AC上的高为．

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14. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则阴影部分的面积是．

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三、解答题(每小题5分，共20分)

15. 计算： $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{16}$ ．

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16. 计算： $- \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2 \frac{1}{3}} \div \frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}}$ ．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，连接 $A D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $C E = 2$ ， $D E = 4$ ， $A E = 8$ ．试说明 $∠ A D C = 90 °$ 。

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18. 如图所示的一块地， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = 4 m$ ， $C D = 3 m$ ， $A B = 13 m$ ， $B C = 12 m$ ，求这块地的面积．

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四、解答题(每小题7分，共28分)

19. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \div \frac{2 x}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．

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20. 已知一个长方形相邻的两边长分别是a ， b ，且 $a = \frac{1}{2} \sqrt{8}$ ， $b = \frac{1}{3} \sqrt{72}$ ；

(1)、求此长方形的周长；

(2)、若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．

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21. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．△ABC的三个顶点均在格点上．

(1)、画出△ABC关于直线MN对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求点C到直线 $A_{1} C_{1}$ 的距离。

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22. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝4，BC＝3，将△ABC折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．

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五、解答题(每小题8分，共16分)

23. 如图①是学校某树木的实物图，该树木可抽象为如图②所示的图形，“奋进”小组开展了测量AB长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，“奋进”小组设计了如下方案：

课题	测量AB的长度
成员	组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具	竹竿，皮尺，计算器等
测量示意图		说明：AB垂直于地面，线段AD ， BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处
测量数据	测量项目	数值
	竹竿的长度	5米
	CD的长度	2.713米
	CE的长度	4.899米
参考数值	$2.71 3^{2} \approx 7.360$ ， $4.89 9^{2} \approx 24.000$ ， $\sqrt{17.64} = 4.2$

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24. 已知△ABC≌△CDE ，且∠B＝∠D＝90°，把△ABC和△CDE拼成如图所示的形状，使点B ， C ， D在同一条直线上，若AB＝4，DE＝3．

(1)、求AE的长；

(2)、将△ABC沿AC折叠，点B落在点F处，延长AF与CE相交于点G ，求FG的长．

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六、解答题(每小题10分，共20分)

25. 爱思考的小名在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ．
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ．
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ ．
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a - 1$ 的值．

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26. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A ， B分别在x轴和y轴上，已知OA＝6，OB＝10，点D坐标为(0，2)，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．

(1)、如图①，当点P经过点C时，DP的长为．

(2)、如图②，把长方形沿着直线OP折叠，点B的对应点 $B^{'}$ 恰好落在AC边上，求点P的坐标．

(3)、在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使△BDP为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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