吉林省长春市榆树市红星乡2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（3月）

试卷更新日期：2024-04-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 方程3 $x^{2}$ +9=0的根为（）

A、3 B、－3 C、±3 D、无实数根

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2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ C、 $\sqrt{30}$ D、 $\sqrt{8 a}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、“买中奖率为 $1 %$ 的奖券 $100$ 张，一定中奖”是必然事件 B、“汽车累积行驶 $10000 k m$ ，从未出现故障”是不可能事件 C、天气预报说“明天的降水概率为 $70 %$ ”，意味着明天一定下雨 D、“清明时节雨纷纷”为随机事件

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4. 如图，张老汉想用长为 $70$ 米的栅栏，再借助房屋的外墙 $($ 外墙足够长 $)$ 围成一个面积为 $640$ 平方米的矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2$ 米宽的门 $($ 建在 $E F$ 处，门用其他材料 $)$ ，设 $A B$ 的长为 $x$ 米，则下面所列方程正确的是（）

A、 $x (70 - x) = 640$ B、 $x (70 - 2 x) = 640$ C、 $x (72 - x) = 640$ D、 $x (72 - 2 x) = 640$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A' B' C' D'$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，若 $O A ： O A' = 2 ： 3$ ，四边形 $A B C D$ 的面积等于4，则四边形 $A' B' C' D'$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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7. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，利用尺规在 $B C$ ， $B A$ 上分别截取 $B E$ ， $B D$ ，使 $B E = B D$ ；分别以 $D$ ， $E$ 为圆心、以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点 $F$ ；作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G .$ 若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $P$ 为 $A B$ 上一动点，则 $G P$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $y$ 轴，且点 $P (2,6)$ 在该抛物线上，则 $c$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $2$ D、 $4$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9. 若关于x的一元二次方程x²+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．

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10. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个同号实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的函数值 $y$ 与自变量 $x$ 的部分对应值如表：

$x$

$\dots$

$- 2$

$- 1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$\dots$

$y$

$\dots$

$8$

$3$

$0$

$- 1$

$0$

$3$

$\dots$
则这个二次函数图象的对称轴是直线．

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12. 如图， $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线， $M$ 是切点，连结 $O M$ 、 $O N .$ 若 $∠ N = 36 °$ ，则 $∠ M O N$ 的大小为度 $.$

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13. 如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（x ， 8），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为 $\frac{4}{3}$ ，则x的值为．

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14. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE＝1，若S_△_ABC＝2，则S_△_DEF＝．

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三、计算题：本大题共1小题，共5分。

15. 解方程： $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ ．

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四、解答题：本题共11小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 计算： $4 \cdot s i n 60 ° - \sqrt{6} \div \sqrt{\frac{1}{2}} + (3 + \sqrt{2})^{2}$ ．

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17. 先化简，再求值： $(x + 2)^{2} + (x + 3) (x - 3)$ ，其中 $x = 2$ ．

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18. 甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在 $1$ 至 $3$ 层的任意一层出电梯．

$3$

$2$

$1$
车库

(1)、如果甲在 $1$ 层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是；

(2)、请你用画树状图 $($ 或列表法 $)$ 求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率．

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19. 即将到来的 $2024$ 年是中国农历甲辰龙年 $.$ 某商场用 $3000$ 元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用 $6600$ 元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的 $2$ 倍，但每件的进价贵了 $3$ 元 $.$ 求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，每个小正方形的边长都为 $1$ ， $△ D E F$ 和 $△ A B C$ 的顶点都在格点上，回答下列问题：

(1)、 $△ D E F$ 可以看作是 $△ A B C$ 经过若干次图形的变化 $($ 平移、轴对称、旋转 $)$ 得到的，写出一种由 $△ A B C$ 得到 $△ D E F$ 的过程：；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 的图形 $△ A' B C'$ ；

(3)、在 $(2)$ 中，点 $C$ 所形成的路径的长度为．

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21. 某校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m² ，小道的宽应是多少？

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22. 如图， $a / / b / / c$ ，直线 $m$ ， $n$ 交于点 $O$ ，且分别与直线 $a$ ， $b$ ， $c$ 交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，已知 $O A = 1$ ， $O B = 2$ ， $B C = 4$ ， $E F = 5$ ，求 $D E$ 的长度是？

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23. 已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.

(1)、求该函数的关系式；

(2)、求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.

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24. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $O$ 为 $A B$ 的中点， $⊙ O$ 与 $A C$ 相切于点 $D$ ，连结 $C O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

(1)、判断 $C B$ 所在直线与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ，求 $\overset{⏜}{D E}$ 的长 $. ($ 结果保留 $π)$

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25. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．

(1)、建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；

(2)、已知球门高 $O B$ 为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．

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26. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数， $a \neq 0)$ ，自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如表：

$x$

$0$

$1$

$2$

$3$

$\dots$

$y$

$- 2$

$m$

$- 2$

$1$

$\dots$

(1)、根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为直线．

(2)、求抛物线的解析式和 $m$ 的值．

(3)、将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (x > 0)$ 的图象记为 $G_{1}$ ，将 $G_{1}$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ 后的图象记为 $G_{2}$ ， $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 合起来得到的图象记为 $G$ ，完成以下问题：
$①$ 若直线 $y = k$ 与函数 $G$ 有且只有两个交点，直接写出 $k$ 的取值范围．
$②$ 若对于函数 $G$ 上的两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $t \leq x_{1} \leq t + 1$ ， $x_{2} \geq 2$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ ，直接写出 $t$ 的取值范围．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$\dots$