吉林省松原市宁江区油田十二中2023-2024学年九年级下学期期初数学试卷

试卷更新日期：2024-04-08 类型：开学考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在实数0，π， $\frac{22}{7}$ ， $\sqrt{2}$ ，- $\sqrt{9}$ 中，无理数的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列计算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3}$ B、 $a^{12} \div a^{2}$ C、 $(a^{2})^{3}$ D、 $(- a^{2})^{3}$

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3. 截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球277000000千米；277000000用科学记数法表示为（）

A、 $277 \times 1 0^{6}$ B、 $2.77 \times 1 0^{7}$ C、 $2.8 \times 1 0^{8}$ D、 $2.77 \times 1 0^{8}$

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4. 对于二次函数 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = - 1$ C、顶点坐标是 $(1,2)$ D、与 $x$ 轴有两个交点

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5. 如图，直线 $A B / / C D$ ， $∠ A = 70 °$ ， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ E$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切于点 $B$ ， $B C$ 为 $⊙ A$ 的直径，点 $C$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象上，若 $△ O A B$ 的面积为 $3$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $9$ D、 $12$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7. 分解因式： $x y^{2} - x =$ ．

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8. 不等式 $3 + 2 x > 5$ 的解集是．

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9. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + x - 2$ 的自变量 $x$ 的取值范围是．

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10. 方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \\ 3 x + 4 y = 2 \end{array}$ 的解为．

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11. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移 $2$ 个单位长度，再向下平移 $3$ 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为．

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12. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，以点 $C$ 为圆心， $C A$ 长为半径画弧交 $B C$ 于点 $D .$ 则图中弧 $A D$ 的长为 $($ 结果保留 $π)$ ．

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13. 如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，以 $O B$ 为边在 $y$ 轴右侧作等边 $△ O B C$ ，将点 $C$ 向左平移，使其对应点 $C'$ 恰好落在直线 $A B$ 上，则点 $C'$ 的坐标为．

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14. 如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x $^{2}$ 的“完美三角形”斜边AB的长．

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三、计算题：本大题共1小题，共5分。

15. 先化简，再求值： $(a - b)^{2} - (a + b) (a - b)$ ，其中 $a = - 3$ ， $b = 2$ ．

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四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 明明家客厅里装有一种开关 $($ 如图所示 $)$ ，从左到右依次分别控制着 $A ($ 楼梯 $)$ ， $B ($ 客厅 $)$ ， $C ($ 走廊 $)$ ， $D ($ 洗手间 $)$ 四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．

(1)、若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是____ $($ 填字母 $)$ ．

A、打开的一定是楼梯灯 B、打开的可能是卧室灯 C、打开的可能是客厅灯 D、打开走廊灯的概率是 $\frac{1}{3}$

(2)、若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ C D$ 于点 $F .$ 求证： $A E = C F$ ．

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18. 某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共 $100$ 件，进行 $D I Y$ 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“幸福村” $.$ 每种文化衫的成本和售价如表，假设文化衫全部售出，共获利 $720$ 元，求购进两种文化衫各多少件？

白色文化衫
黑色文化衫
成本 $($ 元 $)$
$25$
$28$
售价 $($ 元 $)$
$31$
$36$

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19. 如图，在 $6 \times 6$ 的方格纸中，每个小正方形的边长为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求画出格点三角形与格点四边形．

(1)、在图 $1$ 中以线段 $A B$ 为边画一个格点 $△ A B C$ ，使 $A B = \sqrt{2} B C$ ．

(2)、在图 $2$ 中以线段 $A B$ 为边画一个格点四边形 $A B C D$ ，使其面积为 $7$ ，且 $∠ B A D = 90 °$ ．

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20. 如图，在平的直角坐标系中，直线 $y = - 2 x + 2$ 与 $x$ 轴 $y$ 轴分别相交于点 $A$ ， $B$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形，曲线 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限经过点 $D$ ．

(1)、求双曲线表示的函数解析式；

(2)、将正方形 $A B C D$ 沿 $X$ 轴向左平移个单位长度时，点 $C$ 的对应点恰好落在 $(1)$ 中的双曲线上．

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21. $2022$ 年 $2$ 月 $4$ 日晚，当我国运动员迪妮格尔 $\cdot$ 衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第 $24$ 届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式．小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置 $($ 点 $O)$ 观测“大雪花”的顶部 $A$ 的仰角 $α$ 为 $12.8 °$ ，底部 $B$ 的俯角 $β$ 为 $15.3 °$ ，已知“大雪花”高 $A B$ 约 $14.89 m$ ，求小华的位置离“大雪花”的水平距离 $O C . ($ 结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $t a n 12.8 ° \approx 0.23$ ， $s i n 12.8 ° \approx 0.22$ ， $t a n 15.3 \approx 0.27$ ， $s i n 15.3 ° \approx 0.26)$

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22. 某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛” $($ 满分为 $100$ 分 $) .$ 竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各 $40$ 名学生的成绩，并对数据 $($ 成绩 $)$ 进行了整理、描述和分析 $.$ 下面给出了部分信息．
$a .$ 甲、乙两班各 $40$ 名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩
班级
$50 \leq x < 60$
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
甲
$4$
$11$
$13$
$10$
$2$
乙
$6$
$3$
$15$
$14$
$2$
$($ 说明：成绩 $80$ 分及以上为优秀， $70 ～ 79$ 分为良好， $60 ～ 69$ 分为合格， $60$ 分以下为不合格 $)$
$b .$ 甲班成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：
$70$ ， $70$ ， $70$ ， $71$ ， $72$ ， $73$ ， $73$ ， $73$ ， $74$ ， $75$ ， $76$ ， $77$ ， $78$
$c .$ 甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级
平均分
中位数
众数
甲
$74.2$
$n$
$85$
乙
$73.5$
$76$
$84$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、写出表中 $n$ 的值为．

(2)、在此次测试中，某学生的成绩是 $74$ 分，在他所属班级排在前 $20$ 名，由表中数据可知该学生是班的学生 $($ 填“甲”或“乙” $)$ ，理由是．

(3)、假设学校 $1200$ 名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．

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23. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度 $y (m)$ 与挖掘时间 $x (h)$ 之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：

(1)、甲队在开挖后 $6$ 小时内，每小时挖 $m .$

(2)、当 $2 \leq x \leq 6$ 时，求 $y_{乙}$ 与 $x$ 的之间的函数关系式．

(3)、直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 $5 m$ ．

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24.

(1)、如图 $1$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以点 $B$ 为中心，把 $△ A B C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{1} B C_{1}$ ；再以点 $C$ 为中心，把 $△ A B C$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{2} B_{1} C$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，则 $C_{1} B_{1}$ 与 $B C$ 的位置关系为；

(2)、如图 $2$ ，当 $△ A B C$ 是锐角三角形， $∠ A B C = α (α \neq 60 °)$ 时，将 $△ A B C$ 按照 $(1)$ 中的方式旋转 $α$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，探究 $C_{1} B_{1}$ 与 $B C$ 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

(3)、如图 $3$ ，在图 $2$ 的基础上，连接 $B_{1} B$ ，若 $C_{1} B_{1} = \frac{2}{3} B C$ ， $△ C_{1} B B_{1}$ 的面积为 $4$ ，则 $△ B_{1} B C$ 的面积为．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $M$ 为边 $A B$ 的中点．点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿 $A C$ 方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度向终点 $C$ 运动，同时点 $P$ 从点 $C$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度先沿 $C B$ 方向运动到点 $B$ ，再沿 $B A$ 方向向终点 $A$ 运动，以 $M P$ 、 $M Q$ 为邻边构造▱ $M Q E P$ ，设点 $Q$ 运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、当点 $E$ 落在 $A C$ 边上时，求 $t$ 和▱ $M Q E P$ 的面积；

(2)、当点 $P$ 在边 $A B$ 上时，设▱ $M Q E P$ 的面积为 $S (S > 0)$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

(3)、连接 $C M$ ，直接写出 $C M$ 将▱ $M Q E P$ 分成的两部分图形面积相等时 $t$ 的值．

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26. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A (- 3,0)$ 和点 $B (1,0)$ ．

(1)、此二次函数的图象与 $y$ 轴的交点的纵坐标为．

(2)、求此二次函数的关系式．

(3)、当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，求二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的最大值和最小值．

(4)、点 $P$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (- 3 < x < \frac{1}{2})$ 图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $P Q / / x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- 2 m - 4 .$ 已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．直接写出线段 $P Q$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (- 3 < x < \frac{1}{2})$ 的图象只有 $1$ 个公共点时， $m$ 的取值范围．

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	白色文化衫	黑色文化衫
成本 $($ 元 $)$	$25$	$28$
售价 $($ 元 $)$	$31$	$36$

班级	平均分	中位数	众数
甲	$74.2$	$n$	$85$
乙	$73.5$	$76$	$84$