浙江省2024年初中学业水平考试模拟演练数学试卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：中考模拟

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）

A、a²+4b² B、﹣x²+16y² C、﹣a²﹣4b² D、a﹣4b²

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $（ - 1 ）^{6} \times 3^{2} = 6$ B、 $- 3^{2} \times \frac{1}{9} = - 1$ C、 $8 \div (- \frac{1}{10}) \times 5 = 8 \times (- \frac{1}{2}) = - 4$ D、 $4 - (- 8) \div 2 = 4 - 4 = 0$

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3. 这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，截止4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达88300000次，请将88300000用科学记数法表示为（　　）

A、0.883×10⁶ B、8.83×10⁷ C、8.83×10⁸ D、88.3×10⁹

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4. 如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点 $A (0, 1)$ ．过点 $P (0, - 7)$ 的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦 $C D$ 长是整数值的条数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 满足下列条件的 $△ A B C$ ，不是直角三角形的是（）

A、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ B、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ C、 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ D、 $∠ A = ∠ B - ∠ C$

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6. 小华的妈妈去年存了一个1年期存款，年利率为3.50％，今年到期后得到利息700元，小华的妈妈去年存款的本金为（）

A、1000元 B、2000元 C、10000元 D、20000元

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7. 现有一组统计数据： $12$ ， $14$ ， $15$ ， $13$ ， $14$ ， $x$ ， $14$ ．对于不同的 $x$ ，下列统计量不会发生改变的是（）

A、众数、中位数 B、平均数、方差 C、平均数、中位数 D、众数、方差

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8. 把二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为 $y = - a {(x - 1)}^{2} + 4 a$ ，若 $(m - 1) a + b + c \leq 0$ ，则m最小值是（）

A、6 B、4 C、8 D、2

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9. 在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，将点A向左平移1个单位长度得到点C，若点C，B关于原点O对称，则下列结论正确的是（）

A、a+b＝1 B、a+b＝﹣1 C、a﹣b＝1 D、a﹣b＝﹣1

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10. 如图，在△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 4$ ，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，当点 $C^{'}$ 落在边 $A B$ 上时，连接 $C C^{'}$ ，则线段 $C C^{'}$ 的长为（）

A、3 B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}, \frac{1}{20} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}, \frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ 请用观察到的规律解方程 $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + ⋯ + \frac{1}{(x + 9) (x + 10)} = \frac{5}{x + 10}$ 该方程的解是．

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12. 现将一把直尺和 $60 °$ 的直角三角板按如图摆放，经测量得 $∠ 1 = 142 °$ ，则 $∠ 2 =$ .

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13. 若 $\sqrt{18} + \sqrt{a} = \sqrt{32}$ ，则 $a =$ ．

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14. 在平面直角坐标系中，点 $P (a ， b)$ ，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当 $a < b$ 时， $Q (a ， - b)$ ，当 $a \geq b$ 时， $Q (a + 1 ， b - 5)$ ，线段 $m ： y = - x + 2 (- 2 \leq x \leq 6)$ 按上述“变换点”组成新图形，直线 $y = 2 k x + 1$ 与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $A D = B D$ ，将 $△ D B C$ 沿 $B D$ 折叠， $B C$ 的对应边 $B C^{'}$ 交 $A C$ 于点 $P$ ，连接 $A C^{'}$ ．若 $A P = 4$ ， $A C = 9$ ，则 $A C^{'}$ 的长为

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16. 如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD， $A B ∥ D C$ ， BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是 cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的离是 cm．

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三、解答题：本大题共8小题，其中17~19题各6分，20~21题各8分，22~23题各10分，24题12分，共66分．

17.

(1)、解方程组： ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = - 1 \\ 5 x - 6 y = 11 \end{array}$ ；

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} x + 3 < 2 (x + 2) \\ \frac{x}{3} + 1 \geq \frac{3 x - 1}{4} \end{array}$ ．

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18.

(1)、计算∶2sin²45°-6sin 30°+3tan 45°+4cos 60°．

(2)、小明在用公式法解方程x²-5x=2时出现了错误，解答过程如下∶
∵a=1，b=-5，c=2，（第一步）
∴b²-4ac=（-5）²-4×1×2=17，（第二步）
∴x $= \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ ，（第三步）
∴ x₁ $= \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ ， x₂= $\frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ ．（第四步）
①小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误的原因是 .
②请你写出此题正确的解答过程．

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19. 已知平面上A（4，4），B（2，0），C（0，6）

(1)、在下面的平面直角坐标系中找出A、B、C三点，绘制出△ABC ．

(2)、求出△ABC的面积．

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20. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，劳动课成为中小学的一门独立课程．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段劳动时长不少于3小时，某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，组织数学兴趣小组按下列步骤开展统计活动．
确定调查对象：
从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．
收集整理数据：
按照标准，学生每周劳动时长分为A ， B ， C ， D四个等级，数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
时长/小时 n≥5 4≤n<5 3≤n<4 n<3
人数 a 60 32 b

分析数据，解答问题：

(1)、本次调查中：1500名学生中每名学生每周的劳动时长是（填“总体”或“个体”）；统计表中的 $a =$ ， $b =$ ．

(2)、请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数．

(3)、为更好践行劳动教育要求，结合上述数据分析，请你提出一条合理化的建议．

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21. 根据以下素材，探索完成任务．

探究遮阳伞下的影子长度

素材1

图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 $180 °$ ，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC ，悬托架 $A E = D E = 0.5$ 米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D ， E ， F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．

素材2

某地区某天下午不同时间的太阳高度角 $α$ （太阳光线与地面的夹角）参照表：

时刻	12点	13点	14点	15点	16点	17点
太阳高度 $α$ （度）	90	75	60	45	30	15
参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ．

素材3

小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q ．

(1)、【确定影子长度】某一时刻测得

B D = 1.7

米，请求出此时影子

G H

的长度．

(2)、【判断是否照射到】这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？

(3)、【探究合理范围】小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算

B Q

的取值范围．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点为A、B分别在y轴正半轴、x轴负半轴上，直线CD分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D ，且AB∥CD ．

(1)、如图1，若点A（0，a）和点B（b ， 0）的坐标满足 $| \sqrt{3} - a | + \sqrt{b + 1} = 0$
ⅰ）直接写出a、b的值，a＝， b＝；
ⅱ）把线段AB平移，使B点的对应点E到x轴距离为1，A点的对应点F到y轴的距离为2，且EF与两坐标轴没有交点，则F点的坐标为；

(2)、若G是CD延长线上一点DP平分∠ADG ， BH平分∠ABO ， BH的反向延长线交DP于P（如图2），求∠HPD的度数；

(3)、若∠BAO＝30°，点Q在x轴（不含点B、C）上运动，AM平分∠BAQ ， QN平分∠AQC ，（如图3）直接出∠BAM与∠NQC满足的数量关系．

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23. 已知抛物线 $y = 2 m x^{2} + (1 - 4 m) x + 1 - 6 m$ 与 $x$ 轴交于不同的两点 $A 、 B$

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 $P$ ，并求出点 $P$ 的坐标；

(3)、当 $\frac{1}{8} < m \leq 4$ 时，由（2）求出的点 $P$ 和点 $A, B$ 构成的 $△ A B P$ 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的 $m$ 值．

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24. 四边形 $A B C D$ 是菱形，点O为对角线交点， $A D$ 边的垂直平分线交线段 $O D$ 于点P（P不与O重合），连接 $P C$ ，以点P为圆心， $P C$ 长为半径的圆交直线 $B C$ 于点E ，直线 $A E$ 与直线 $C D$ 交于点F ，如图所示．

(1)、当 $∠ A B C = 60 °$ 时，求证：直线 $A B$ 与 $⊙ P$ 相切；

(2)、当 $A O = 2$ ， $A F^{2} + E F^{2} = 16$ 时，求 $∠ A B C$ 的度数；

(3)、在菱形 $A B C D$ 的边长与内角发生变化的过程中，若点C与E不重合，请探究 $∠ A F C$ 与 $∠ C A F$ 的数量关系．

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等级确定	A	B	C	D
时长/小时	n≥5	4≤n<5	3≤n<4	n<3
人数	a	60	32	b