湖南省衡阳市衡山县2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列实数中，属于无理数的是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $0$

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2. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 $A B = A C$ ，工人师傅在焊接立柱时，只用找到 $B C$ 的中点 $D$ ，这就可以说明竖梁 $A D$ 垂直于横梁 $B C$ 了，工人师傅这种操作方法的依据是（）

A、等边对等角 B、等角对等边
C、垂线段最短 D、等腰三角形“三线合一”

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3. 已知 $3^{x} = y$ ，则 $3^{x + 1} =$ （）

A、y B、 $1 + y$ C、 $3 + y$ D、 $3 y$

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4. 若多项式 $x^{2} + m x + n$ 可因式分解为 $(x - 2) (x + 3)$ ，则 $m n$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $- 6$ C、 $- 5$ D、 $1$

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5. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）

A、 $(2 x - y) (2 x + y)$ B、 $(x - y) (- y - x)$ C、 $(b - a) (b + a)$ D、 $(- x + y) (x - y)$

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6. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（）

A、SAS B、ASA C、AAS D、SSS

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7. 若关于 $x$ 的多项式 $3 x^{2} - x + 1 + k x$ 中不含一次项，则 $k$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $\pm 1$

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8. 如果多项式 $x^{2} - m x + 16$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值是（）

A、 $4$ B、 $\pm 4$ C、 $8$ D、 $\pm 8$

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 105 °$ ， $A B$ 、 $A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，则 $∠ E A F$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $50 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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10. 给出下列命题：
$(1)$ 每个命题都有逆命题；
$(2)$ 任意一个无理数的绝对值都是正数；
$(3) - 3$ 没有立方根；
$(4)$ 有一个角是 $60 °$ 的三角形是等边三角形．
其中真命题的个数为（）

A、 $3$ 个 B、 $2$ 个 C、 $1$ 个 D、 $0$ 个

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11. 计算：125²-50×125+25²=（）

A、100 B、150 C、10000 D、22500

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12. 在数学拓展课上，有两个全等的含 $45 °$ 角的直角三角板 $A D E$ ， $A B C$ 重叠在一起 $.$ 李老师将三角板 $A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $($ 保持 $∠ B A E < 90 °)$ ，延长线段 $D E$ ，与线段 $C B$ 的延长线交于点 $F ($ 如图所示 $)$ ，随着 $∠ B A E$ 的增大， $C F - E F$ 的值（）

A、一直变小 B、保持不变 C、先变小，后变大 D、一直变大

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13. $1 \frac{9}{16}$ 的算术平方根是．

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14. $(- 3 x^{2} y^{3})^{3} =$ ．

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15. 计算： $(4 a^{3} b^{4} - 2 a^{2} b^{3}) \div (- 2 a b) =$ ．

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16. 已知a+ $\frac{1}{a}$ =3，则a²+ $\frac{1}{a^{2}}$ 的值是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 60 °$ ， $B D = C F$ ， $B E = C D$ ，则 $∠ E D F$ 的度数是．

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18. 如图所示， $∠ E = ∠ F = 90 °$ ， $∠ B = ∠ C$ ， $A E = A F .$ 则下列结论：
$① ∠ F A N = ∠ E A M$ ； $② △ A C N$ ≌ $△ A B M$ ； $③ E M = F N$ ； $④ C D = D N$ ；
$⑤ △ M D C$ ≌ $△ N D B .$ 其中正确的有．
$($ 请把正确答案的序号填在横线上 $)$

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三、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 请将下列式子进行因式分解：

(1)、 $n^{3} (m - 2) + n (2 - m)$ ；

(2)、 $(a^{2} + 4)^{2} - 16 a^{2}$ ．

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20. 已知： $3 x^{2} + 2 x - 4 = 0$ ，求代数式 $(2 x - 1) (4 x + 5) - 2 x (x + 1)$ 的值．

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21. 为了更好地开展课后服务，满足同学们的需求 $.$ 某中学在全校学生中随机抽查了部分学生参加音乐、体育、美术、书法等活动项目 $($ 每人只限一项 $)$ 的情况 $.$ 下面是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样调查中共抽取了名学生；

(2)、扇形统计图中 $m$ 的值是；

(3)、请求出扇形统计图中“美术”对应的扇形圆心角度数．

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22. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC ， ∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．

(1)、求证：△ADC≌△CEB；

(2)、求两堵木墙之间的距离．

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23. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1)、应用场景 $1 — —$ 在数轴上画出表示无理数的点．
如图 $1$ ，在数轴上找出表示 $3$ 的点 $A$ ，过点 $A$ 作直线 $l$ 垂直于 $O A$ ，在 $l$ 上取点 $B$ ，使 $A B = 2$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径作弧，则弧与数轴的交点 $C$ 表示的数是．

(2)、应用场景 $2 — —$ 解决实际问题．
如图 $2$ ，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 1 m$ ，将它往前推 $6 m$ 至 $C$ 处时，水平距离 $C D = 6 m$ ，踏板离地的垂直高度 $C F = 4 m$ ，它的绳索始终拉直，求绳索 $A C$ 的长．

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24. 综合与探究：问题情景：如图 $1$ 所示，已知，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、 $($ 探究一 $)$ 小虎通过度量发现 $∠ B C E = ∠ C A D$ ，请你帮他说明理由；

(2)、 $($ 探究二 $)$ 小明在图中添加了一条线段 $C N$ ，且 $C N$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，如图 $2$ 所示，即可得 $C N = B E$ ，符合题意吗？请说明理由；

(3)、 $($ 探究三 $)$ 小刚在 $(2)$ 的基础上，连接 $D E$ ，如图 $3$ 所示，若 $A B = 4$ ， $C N = \frac{4}{3}$ ，求 $△ A D E$ 的面积．

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