吉林省名校调研2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：期中考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线y=3（x+4）²+2的顶点坐标是（）

A、（2，4） B、（2，-4） C、（4，2） D、（-4，2）

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2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一元二次方程： $x^{2} - 4 x = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = 4$ B、 $x_{1} = x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = 0$

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4. 如图，AB是⊙O的直径，C ， D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（）

A、20° B、40° C、55° D、70°

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A C = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转得到 $△ A' B' C$ ，此时点 $A$ 恰好在 $A B$ 边上，连接 $B B'$ ，则 $B B'$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3$

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6. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，顶点坐标为 $(- 1 ， - 2) .$ 下列结论： $① a < 0$ ； $② b > 0$ ； $③ a + b + c > 0$ ； $④$ 方程 $a x^{2} + b x + c + 2 = 0$ 有两个相等的实数根 $.$ 其中所有正确结论的序号是（）

A、 $① ②$ B、 $③ ④$ C、 $② ③$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7. 在平面直角坐标系中，点 $(22 ， - 33)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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8. 若二次函数 $y = △ (x + 1)^{2} - 6$ 有最大值，则“ $△$ ”中可填的数字是．

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9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为度 $.$

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10. 已知关于x的一元二次方程2x²-x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C = 2 C D$ ，则 $∠ B A D$ 的度数是 $°$ ．

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12. 将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 先向左平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $3$ 个单位长度，得到的抛物线的解析式是．

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13. 如图，直线 $a$ 、 $b$ 垂直相交于点 $O$ ，曲线 $C$ 关于点 $O$ 成中心对称，点 $A$ 的对称点是点 $A'$ ， $A B ⊥ a$ 于点 $B$ ， $A' D ⊥ b$ 于点 $D$ ．若 $O B = 4$ ， $O D = 3$ ，则阴影部分的面积之和为．

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14. 如图是一个圆弧形隧道的截面，若路面 $A B$ 宽为 $10 m$ ，高 $C D$ 为 $7 m$ ，则此圆弧形隧道的半径 $O A =$ $m .$

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三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 用配方法解方程： $2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ．

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16. 如图，在 $⊙ O$ 中， $\overset{⏜}{A B} = \overset{⏜}{C D}$ ，求证： $∠ B = ∠ C$ ．

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17. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标是 $(- 2 ， - 1)$ ，且经过点 $A (0，3) .$ 求该抛物线的解析式．

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18. 图 $①$ 、图 $②$ 都是由边长为 $1$ 的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．已知点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上，分别按下列要求作一个四边形，使 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 这三个点在这个四边形的边 $($ 包括顶点 $)$ 上，且四边形的顶点在格点上．

(1)、在图 $①$ 中作一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形；

(2)、在图 $②$ 中作一个四边形，使其既是轴对称图形又是中心对称图形．

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19. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 $50$ 元，连续两次降价后每千克 $32$ 元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (6，0)$ ， $∠ O B A = 30 ° .$ 把 $△ A O B$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转，得到 $△ C O D$ ，点 $C D$ 分别为点 $A$ 、 $B$ 旋转后的对应点 $.$ 旋转角记为 $α (0 ° < α < 360 °)$ ：

(1)、当 $α = 45 °$ 时，求点 $C$ 的坐标；

(2)、当 $C D / / x$ 轴时，直接写出 $α$ 的值．

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21. 如图，现打算用 $60 m$ 的篱笆围成一个“日”字形菜园 $A B C D ($ 含隔离栏 $E F)$ ，菜园的一面靠墙 $M N$ ，墙 $M N$ 可利用的长度为 $39 m . ($ 篱笆的宽度忽略不计 $)$

(1)、菜园面积可能为 $252 m^{2}$ 吗？若可能，求边长 $A B$ 的长，若不可能，说明理由．

(2)、因场地限制，菜园的宽度 $A B$ 不能超过 $8 m$ ，求该菜园面积的最大值．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $\overset{⏜}{B D}$ 的中点， $C E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $B D$ 交 $C E$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $C F = B F$ ；

(2)、若 $C D = 6$ ， $A C = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 3，5)$ ， $B (0，5) .$ 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $C (1，0)$ ， $D (- 3，0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $- 4 \leq x \leq 0$ 时，求 $y$ 的最小值；

(3)、连接 $A B$ ，若二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象向上平移 $m (m > 0)$ 个单位时，与线段 $A B$ 有一个公共点，结合函数图象，直接写出 $m$ 的取值范围．

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24. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图 $①$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ．

(1)、 $【问题提出】$ 如图 $②$ ，在图 $①$ 的基础上连接 $B D$ ，由于 $A D = C D$ ，所以可将 $△ D C B$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转 $60 °$ ，得到 $△ D A B'$ ，则 $△ B D B'$ 的形状是

(2)、 $【尝试解决】$ 在 $(1)$ 的条件下，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(3)、【类比应用】如图 $③$ ，等边 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $△ B D C$ 是顶角 $∠ B D C = 120 °$ 的等腰三角形，以 $D$ 为顶点作一个 $60 °$ 的角，角的两边分别交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，求 $△ A M N$ 的周长．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边的中点 $.$ 动点 $P$ 从点 $B$ 出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿边 $B C$ 向终点 $C$ 运动，同时动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿边 $A B$ 向终点 $B$ 运动，当点 $P$ 与点 $D$ 、 $C$ 不重合时，以 $P Q$ 、 $P D$ 为邻边作▱ $P D E Q$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $P D$ 的长；

(2)、当线段 $Q E$ 被边 $A C$ 平分时，求 $t$ 的值；

(3)、设▱ $P D E Q$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并求出 $S = 6$ 时 $t$ 的值．

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26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1，0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0，3)$ ，作直线 $B C .$ 动点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $M$ ，交直线 $B C$ 于点 $N$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求抛物线的解析式和直线 $B C$ 的解析式；

(2)、当点 $P$ 在线段 $O B$ 上运动时，求线段 $M N$ 的最大值；

(3)、当点 $P$ 在线段 $O B$ 上运动时，若 $△ C M N$ 是以 $M N$ 为腰的等腰直角三角形时，求 $m$ 的值；

(4)、当以 $C$ 、 $O$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 $m$ 的值．

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