吉林省白山十六中、吉林五中2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：期末考试

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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件是随机事件的是（）

A、长为 $3 c m$ ， $5 c m$ ， $9 c m$ 的三条线段能围成一个三角形 B、射击运动员射击一次，命中靶心
C、平面内两直线相交，对顶角相等 D、直角三角形的两个锐角互余

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3. 下列各项中， $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = - \frac{x}{8}$ B、 $y = \frac{2}{x - 1}$ C、 $y = \frac{7}{x}$ D、 $y = - 5 x$

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4. 某农家前年水蜜桃亩产量为 $800$ 千克，今年的亩产量为 $1250$ 千克，设从前年到今年的年平均增长率为 $x$ ，则可列方程（）

A、 $800 (1 + 2 x) = 1250$ B、 $800 (1 + x^{2}) = 1250$ C、 $800 (1 + x) = 1250$ D、 $800 (1 + x)^{2} = 1250$

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5. 如图，线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ， $∠ E = 40 °$ ，则 $∠ C D B =$ （）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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6. 如图 $①$ ，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形 $($ 曲线 $A C B)$ 的薄壳屋顶 $.$ 已知它的拱宽 $A B$ 为 $4$ 米，拱高 $C O$ 为 $0.8$ 米 $.$ 为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式 $.$ 图 $②$ 是以 $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴， $O C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立的平面直角坐标系，则图 $②$ 中的抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 0.2 x^{2} + 0.8$ B、 $y = - 0.2 x^{2} - 0.8$ C、 $y = 0.2 x^{2} + 0.8$ D、 $y = - 0.2 x + 0.4$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

7. 一元二次方程 $x^{2} + 5 x + 1 = 0$ 的根的判别式的值是．

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8. 若反比例函数 $y = \frac{k - 9}{x}$ 的图象分布在第一、三象限，则 $k$ 的取值范围是．

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，与x轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，则关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为．

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10. 在一个不透明的布袋中装有 $18$ 个红球和若干个白球，除颜色外其他都相同，小华通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 $0.5$ 左右，则布袋中白球可能有个 $.$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = k_{1} x + 1$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 交于 $A (- 2，3)$ 、 $B (m ， - 2)$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $k_{1} x + 1 > \frac{k_{2}}{x}$ 的解集为．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ ， $C D = 8 c m$ ， $A B = 10 c m$ ，则 $A E =$ ．

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13. 如图，将 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $R t △ A B_{1} C_{1}$ ， $∠ C = 90 °$ ，若 $∠ B A C_{1} = 18 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，则旋转角 $∠ C A C_{1} =$ 度 $.$

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14. 如图 $①$ 是明清时期女子主要裙式之一的马面裙，图 $②$ 马面裙可以近似地看作扇环，其中 $\overset{⏜}{A D}$ 的长度为 $\frac{1}{3} π$ 米， $\overset{⏜}{B C}$ 的长度为 $\frac{3}{5} π$ 米，圆心角 $∠ A O D = 60 °$ ，则裙长 $A B$ 为米 $.$

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三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 解方程：x²－2x－4＝0．

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16. 已知抛物线 $L$ ： $y = (a - 5) x^{2} + x + 3 (a$ 是常数，且 $a \neq 5)$ ．

(1)、若抛物线 $L$ 在其对称轴左侧的部分是上升的，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若抛物线 $L$ 有最低点，且与抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 的形状相同，求 $a$ 的值．

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17. 如图，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上的一点，过点 $P$ 作 $P A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ，连接 $O P$ ， $△ A O P$ 的面积为 $6$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若 $O A = 4$ ，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 上的点，当 $S_{△ O A B} = 12$ 时，直接写出点 $B$ 的坐标．

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18. 有 $3$ 张卡片，正面分别印有“祖” $($ 用字母 $A$ 代替 $)$ 、“国” $($ 用字母 $B$ 代替 $)$ 、“强” $($ 用字母 $C$ 代替 $)$ 的字样，卡片的形状、大小、质地等都相同，放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀 $.$ 先从盒子中随机取出一张卡片，记录后不放回，再从剩余的卡片中随机取出一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的两张卡片恰好组成“祖国”的概率．

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19. 若一个角的补角比它的余角的 $2$ 倍还多 $70 °$ ，则这个角的度数为多少度？

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20. 先化简，再求值： $2 (x^{2} + 4 x) - (2 x^{2} + 5 x - 4)$ ，其中 $x = - 8$ ．

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21. 如图，抛物线 $y = a (x - 4)^{2} + 8$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ， $C$ 是抛物线的顶点，▱ $A B C D$ 的顶点 $D$ 在 $y$ 轴上．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点 $D$ ，求平移后抛物线的解析式．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，连接 $A C$ ，作 $O F ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上， $E M$ 经过点 $C$ ，且 $∠ A C E + ∠ A F O = 180 °$ ．

(1)、求证： $E M$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = ∠ E$ ， $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，求阴影部分的面积．

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23. 如图，平行四边形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上， $O A = 3$ ，反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 在第一象限的图象经过点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，点 $B$ 坐标为 $(5 ， n)$ ．

(1)、求 $n$ 的值和点 $C$ 的坐标；

(2)、若 $D$ 是 $A B$ 的中点，求 $O D$ 的长．

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24.

(1)、【知识探究】如图 $①$ ，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点，以点 $E$ 为直角顶点的 $R t △ E F G$ 的两边 $E F$ 、 $E G$ 分别与 $A D$ 、 $A B$ 相交于点 $M$ 、 $N .$ 当 $E F ⊥ A D$ 时，请直接写出 $E M$ 与 $E N$ 的数量关系 $($ 不需证明 $)$ ；

(2)、【拓展探究】当 $R t △ E F G$ 绕点 $E$ 顺时针旋转到点 $M$ 与点 $D$ 重合时，如图 $②$ ，请探究 $E M$ 与 $E N$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、【迁移运用】在图 $②$ 的基础上，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，如图 $③$ ，求证： $H$ 是线段 $B N$ 的中点．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $C A$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动，同时，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，过点 $Q$ 作 $Q E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $P E$ ，设四边形 $A P E Q$ 与 $△ A D C$ 重叠部分图形的面积为 $S (S > 0)$ ，点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 4)$ ．

(1)、 $D Q$ 的长为 $($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、四边形 $A P E Q$ 的形状是 $($ 不需证明 $)$ ；

(3)、求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

(4)、当 $S$ 的值为 $3 \sqrt{3}$ 时，直接写出 $t$ 的值．

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26. 抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2，0)$ 和 $B (4，0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C .$ 点 $P$ 是线段 $B C$ 下方抛物线上的一个动点 $($ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交 $B C$ 于 $M$ ，交 $x$ 轴于 $N$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、用关于 $t$ 的代数式表示线段 $P M$ ，求 $P M$ 的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

(3)、过点 $C$ 作 $C H ⊥ P N$ 于点 $H$ ， $S_{△ B M N} = 9 S_{△ C H M}$ ，
$①$ 求点 $P$ 的坐标；
$②$ 连接 $C P$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ C P Q$ 为直角三角形，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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