四川省成都市邛崃市2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各数中，无理数是（　　）

A、 $\sqrt{9}$ B、0 C、 $\frac{22}{7}$ D、 $π$

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2. $- \frac{1}{8}$ 的立方根为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (- 1 ， \sqrt{2})$ 关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A、 $(- 1 ， \sqrt{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{2})$ C、 $(- 1 ， - \sqrt{2})$ D、 $(1 ， - \sqrt{2})$

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4. 下列运算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{6} = 3$ B、 $3 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} = 1$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$

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5. 下列命题中，真命题是（　　）

A、实数和数轴上的点是一一对应的 B、7，8， $15$ 是一组勾股数 C、 $- 2^{2}$ 的算术平方根是2 D、直角三角形的两锐角互补

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6. 某学校计划组织“垫排球”比赛活动，为了解参赛学生垫排球水平及稳定程度，在比赛前期分别记录了甲、乙、丙、丁四名参赛学生在规定时间内10次垫排球的数量，并计算出了各自的平均个数 $\bar{x}$ 及方差 $S^{2}$ ，如表所示：
参赛学生
甲
乙
丙
丁
$\bar{x}$
51
53
55
55
$S^{2}$
$\frac{23}{4}$
$\frac{21}{4}$
6
$\frac{21}{4}$
根据上表所列数据，你认为参赛学生中获胜的可能性最大的是（　　）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了5元；如果每人出7元，则少了9元，问组团人数和物价各是多少？若设有x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是(　　)

A、 ${\begin{array}{l} 9 x - y = 5 \\ 7 x - y = 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 9 x - y = 5 \\ 7 x + 9 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - 9 x = 5 \\ y - 7 x = 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - 9 x = 5 \\ 7 x - y = 9 \end{array}$

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8. 正比例函数 $y = a x (a \neq 0)$ 的函数值y随x的增大而减小，则一次函数 $y = \frac{1}{3} x - a$ 的图象大致是(　　)

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 若实数 $\sqrt{7}$ 的小数部分为a ，则 $a =$ ．

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10. 在平面直角坐标系中，点 $P (3 ， - \frac{2024}{2023})$ 所在的象限是第象限．

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11. 如图，直线a ， b被直线c所截， $a ∥ b ， ∠ 2 = 55 °$ ，则 $∠ 1 =$ ．

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12. 若点 $A (- 3 ， m) ， B (- 2 ， n)$ 都在一次函数 $y = k x + 3 (k < 0)$ 的图象上，则mn（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点M ， N ，再分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线 $A P$ ，交边 $B C$ 于点D ，若点D到 $A B$ 的距离为4， $A C = 12$ ，则 $△ A C D$ 的面积为．

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三、解答题

14.

(1)、计算： $\sqrt{12} - {(π - 3.14)}^{0} + | 2 - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} y - 10 x = 6 ① \\ 8 x - y = 8 ② \end{array}$ ．

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15. 一段时间内，一家鞋店销售了某种品牌的女鞋30双，其中尺码为 $24 c m$ 和 $24.5 c m$ 的销售量还未统计完毕．各种尺码的销售量如表所示：
尺码/ $c m$
22
22.5
23
$23.5$
24
$24.5$
25
销售量/双
1
2
9
8
a
b
2

(1)、这30双女鞋尺码的中位数为，众数为；

(2)、当 $b = 2$ 时，求出这30双女鞋中尺码为 $24 c m$ 、 $24.5 c m$ 和 $25 c m$ 的三种鞋的尺码的平均数；

(3)、在（1）（2）中求出的三个数据中，你认为鞋店老板最感兴趣的是．

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16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，点 $A (1 ， 1)$ ．

(1)、请作出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标：；

(2)、在x轴上存在一点P ，当满足点P到点 $B_{1}$ 和点 $A_{1}$ 距离之和最小时，请直接写出 $P A_{1} + P B_{1}$ 的最小值：和点P的坐标：．

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17. 如图，在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，将纸片按如图所示的方式折叠，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，折痕为 $E F$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ；

(2)、求 $A E$ 和 $E F$ 的长．

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18. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 和直线 $y = - x + 2$ 相交于点A ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、在y轴上有一动点 $P (0 ， p)$ ，过点P作y轴的垂线，分别交直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 和 $y = - x + 2$ 于点B、C ，若 $B C = 8$ ，求p的值；

(3)、在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当 $△ M B C$ 是以 $B C$ 为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．

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四、填空题

19. 若 $| x - \sqrt{5} | + \sqrt{x - y} = 0$ ，则 $\frac{1}{5} x y$ $=$ ．

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20. 如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S₁ ， S₂ ，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 $S_{1} + S_{2} =$ ．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 15$ ， $A B = \frac{25}{2}$ ，高 $A D = 12$ ，则 $B C =$ ．

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22. 如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角 $60 °$ 得到另一条数轴y ， x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A ，过点P作x轴的平行线交y轴于点B ，若点A在x轴上对应的实数为a ，点B在y轴上对应的实数为b ，则称有序实数对 $(a ， b)$ 为点P的斜坐标．若点P的斜坐标为 $(1 ， 4)$ ，点G的斜坐标为 $(7 ， - 4)$ ，连接 $P G$ ，则线段 $P G$ 的长度为．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = \sqrt{3} x$ ；直线l₂： $y = x$ ，直线 $l_{1}$ 上有一点A ，且点A的纵坐标是 $2 \sqrt{3}$ ．在直线 $l_{1}$ 的右侧作正方形 $O A B C$ ， $A B$ 交直线 $l_{2}$ 于点D ， $B C$ 交x轴于点E ，连接 $D E 、 A C ， A C$ 交直线 $l_{2}$ 于点F ，交x轴于点G ，则下列结论正确的有．（填序号）
① $△ B D E$ 的周长为 $8 \sqrt{3}$ ；
② $B D = \sqrt{3} B E$ ；
③ $F G = A F + G C$ ；
④点P为射线 $O A$ 上一动点， $B P + \frac{1}{2} O E$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{3}$ ．

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五、解答题

24. “蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A ， B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元．

(1)、求两种玩偶的进货价分别为多少？

(2)、礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶 $m (m \leq 30)$ 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？

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25. 在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x + 1$ 分别交x ， y轴于B ， A两点，直线 $l_{2}$ 过点 $E (0 ， - \frac{3}{2})$ ，交x轴于点D ，交直线 $l_{1}$ 于点C ，其中点C的横坐标为1．

(1)、求直线l₂的函数表达式；

(2)、若点G是y轴上一点，且 $S_{△ A C G} = \frac{8}{5} S_{△ A C D}$ ，求点G的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点P为x轴上一点，且 $∠ P C G = 45 °$ ，直接写出点P的坐标．

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26. 在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：
问题背景：在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 60 ° ， B C = 6$ ．点D为 $A B$ 边上一动点，连接 $C D$ ，点E为 $C D$ 边上一动点，连接 $B E$ ，以 $B E$ 为边，在 $B E$ 右侧作等边 $△ B E F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、如图1，当 $B C = B D$ 时，求证： $△ B D E ≌ △ B C F$ ；

(2)、如图2，当点D运动到 $A B$ 的四等分点（靠近点B）时，点D停止运动，此时点E从点C运动到点D ，试判断点E从点C运动到点D的过程中线段 $C F$ 和 $B F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，点D从 $A B$ 的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持 $∠ B E C = 90 °$ ，直接写出 $C F$ 的最小值和点F所经过的路径长．

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参赛学生	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$	51	53	55	55
$S^{2}$	$\frac{23}{4}$	$\frac{21}{4}$	6	$\frac{21}{4}$

尺码/ $c m$	22	22.5	23	$23.5$	24	$24.5$	25
销售量/双	1	2	9	8	a	b	2