2023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期第1章二次函数单元测试B卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 $y = t x + 2 t + 2 (t > 0)$ 与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} ⩽ t < 2$ B、 $\frac{1}{2} < t ⩽ 1$ C、 $1 < t ⩽ 2$ D、 $\frac{1}{2} ⩽ t ⩽ 2$ 且 $t \neq 1$

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2. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 a x - 8$ 经过 $(- 3 ， m)$ 和 $(5 ， m)$ ，则抛物线的最低点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(2 ， - 8)$ C、 $(- 1 ， 9)$ D、 $(1 ， - 9)$

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3. 已知二次函数 $y = x^{2} - b x + 1$ ，当 $- \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，函数 $y$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ ，则b的值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{11}{6}$ 或 $\frac{3}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$ 或 $- \frac{11}{6}$

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4. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = 2 k x^{2} - x + k^{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示的是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，由图象可知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是（）

A、 $- 1 < x < 5$ B、 $x > 5$ C、 $x < - 1$ 且 $x > 5$ D、 $x < - 1$ 或 $x > 5$

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6. 将抛物线 $y = x^{2}$ 通过一次平移可得到抛物线 $y = {(x - 3)}^{2}$ ．对这一平移过程描述正确的是（）

A、向右平移3个单位长度 B、向上平移3个单位长度 C、向左平移3个单位长度 D、向下平移3个单位长度

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7. 如图，已知开口向上的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 一定有两个不相等的实数根；④ $a > \frac{1}{3}$ .其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 的对称轴为 $x = 1$ ，当 $m \leq x \leq n$ 时，y的取值范围是 $2 m \leq y \leq 2 n$ ．则 $m + n$ 的值为（）

A、 $- 6$ 或 $- 2$ B、 $\frac{1}{4}$ 或 $- \frac{7}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- 2$

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9. 定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax²﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　）

A、﹣1≤a＜0 B、﹣2≤a＜﹣1 C、﹣1≤a＜ $- \frac{1}{2}$ D、﹣2≤a＜0

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10. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（）

A、水流运行轨迹满足函数 $y = - \frac{1}{40} x^{2} - x + 1$ B、水流喷射的最远水平距离是40米 C、喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D、若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

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二、填空题

11. 已知二次函数 $y = - 2 (x - 2)^{2} + m$ 的图像经过原点，那么m的值为．

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12. 已知点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）在抛物线y＝x²﹣3上，且0＜x₁＜x₂ ，则y₁y₂.（填“＜”或“＞”或“＝”）

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13. $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = a x^{2} + a^{2}$ ，在 $- 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时有最大值6，则 $a =$ ．

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14. 如图，抛物线 $y = - \frac{8}{7} x^{2} + \frac{24}{7} x + 2$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则 $P A + P C$ 取最小值时，点P坐标是．

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15. 如图，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ：① $b^{2} - 4 a c > 0$ ；② $a b c < 0$ ；③ $9 a - 3 b + c = 0$ ；④ $5 a + b + c = 0$ ；⑤若点 $A (a + 1 ， y_{1})$ 、 $B (a + 2 ， y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} > y_{2}$ ；⑥ $a m^{2} + b m \geq a + b$ （ $m$ 为任意实数），其中结论正确的有．

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三、解答题

16. 已知二次函数的解析式为 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 4$ ．

(1)、求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；

(2)、若 $m = 2$ ，点 $M (n ， y_{1})$ ， $N (n + 2 ， y_{2})$ 都在该二次函数的图象上，且 $y_{1} y_{2} < 0$ ，求n的取值范围；

(3)、当 $m - 3 \leq x \leq 5$ 时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．

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17. 某智能机器人生产厂家准备对甲、乙两款机器人进行投资生产，根据前期市场调研情况发现，投资甲机器人一年后的收益 $y_{甲}$ （万元）与投入成本x（ $x > 0$ ）（万元）的函数表达式为： $y_{甲} = \frac{1}{2} x$ ，投资乙机器人一年后的收益 $y_{乙}$ （万元）与投入成本x（ $x > 0$ ）（万元）的函数表达式为： $y_{乙} = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{2} x$ .

(1)、若将2万元资金投给乙机器人，一年后获得的收益是多少？

(2)、请在平面直角坐标系中画出两函数图象的简图，并结合图象分析怎样选择投资对象使获得的收益更多？

(3)、若该生产厂家共有活动资金32万元，计划全部投入到甲、乙两款机器人生产中，当甲、乙两款机器人分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

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18. 如图1，抛物线y＝﹣x²+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C ．在x轴上有一动点E（m ， 0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；

(3)、如图2，连接BC ， BC与ME交于点F ，连接AF ， △ACF和△BFM的面积分别为S₁和S₂ ，当S₁＝4S₂时，求点E坐标．

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四、实践探究题

19. 根据以下素材，探究完成任务


素材1	图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗高GF=7cm，碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD= 12cm，此时面汤最大深度EG= 6cm，
素材2	如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止.
问题解决
任务1	确定碗体形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式。
任务2	拟定设计方案1	根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度。
任务3	拟定设计方案2	如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH。

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20.

(1)、【问题初探】
综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x²+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)²+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h ，通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是；

(2)、【类比分析】
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x²+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；

(3)、【学以致用】
已知二次函数y＝－x²+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y₁ ，最小值为y₂ ，若y₁－y₂＝3，求a的值．

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21. 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $C E$ 和 $D F$ 组成，立柱高为 $1 m$ ，顶棚最高点距离地面 $E F$ 是 $4 m$ ， $E F$ 的长为 $20 m$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $E F$ 的中点 $O$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $O A$ ，从喷水口 $A$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $y = - 0.05 x^{2}$ 的图象相同， $O A = 1.45 m$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $D$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $O A$ 处喷出的水流在距离 $O$ 点水平距离为多少米时达到最高．
任务3	调整喷头的高度	如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘 $F$ 处．

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五、综合题

22. 抛物线y＝ax²+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C ．连结BC ，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC ，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m ， 0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q ，交BD于点M ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式；

(2)、x轴上是否存在一点P ，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．

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23. 如图，抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

(3)、在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+ $\frac{3}{2}$ x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

(1)、试求A，B，C的坐标；

(2)、将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

(3)、在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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2023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期 第1章 二次函数 单元测试B卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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