2023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期第1章二次函数单元测试A卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的图象与x轴的交点个数是（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定

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2. 抛物线 $y = 2 (x + 3)^{2} + 1$ 的对称轴是（）

A、直线 $x = 3$ B、直线 $x = - 3$ C、直线 $x = - 1$ D、直线 $x = 1$

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3. 顶点 $(- 5 ， - 1)$ ，且开口方向、形状与函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2}$ 的图象相同的抛物线的是（）

A、 $y = \frac{1}{3} (x - 5)^{2} + 1$ B、 $y = - \frac{1}{3} x^{2} - 5$ C、 $y = - \frac{1}{3} (x + 5)^{2} - 1$ D、 $y = \frac{1}{3} (x - 5)^{2} - 1$

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4. 二次函数 $y = a x_{}^{2} (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(2 ， - 1)$ ，则a的值是（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2}$ 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 $($ 　　 $)$

A、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ B、 $y = (x - 1)^{2} - 2$ C、 $y = (x + 1)^{2} - 2$ D、 $y = (x + 1)^{2} + 2$

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6. 设点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{2} ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 上的三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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7. 下列函数中是二次函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x^{3}$ D、 $y = - 4 x^{2} + 5$

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8. 一次函数 $y = c x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一坐标系内的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0)$ 图象的一部分，对称轴为直线 $x = - 1$ ，经过点 $(1 ， 0)$ ，且与 $y$ 轴的交点在点 $(0 ， - 2)$ 与 $(0 ， - 3)$ 之间．下列判断中，正确的是 $($ $)$

A、 $b^{2} < 4 a c$ B、 $2 a + b = 0$ C、 $a - 3 b + c > 0$ D、 $\frac{4}{3} < b < 2$

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10. 如表中列出了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个近似解x₁的范围是（）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…

A、﹣3＜x₁＜﹣2 B、﹣2＜x₁＜﹣1 C、﹣1＜x₁＜0 D、0＜x₁＜1

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二、填空题

11. 二次函数的图象经过点 $(4 ， - 3)$ ，且当 $x = 3$ 时，有最大值 $- 1$ ，则该二次函数解析式为．

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12. 二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ 的顶点坐标是

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13. 已知 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(2 ， y_{2})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x + m$ 的图象上，比较 $y_{1}$ $y_{2} .$ （填 $>$ 、 $<$ 或 $=)$

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14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 经过点B、C.若抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x - c$ 的顶点在正方形OABC的内部，则a的取值范围是.

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， 3)$ ，作直线 $B C$ ．若在直线 $B C$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $∠ D C B = 2 ∠ A B C$ ，则点 $D$ 的坐标为．

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三、解答题

16. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15 米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

(1)、计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响?

(2)、求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．

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17. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0＜x＜20，x是整数）元．

(1)、售价上涨 $x$ 元后，该商场平均每月可售出个台灯（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

(3)、台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？

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18. 如图所示，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k>0)的图象与BC边交于点E.

(1)、当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式；

(2)、当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少?

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四、综合题

19. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000

(1)、求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

(2)、在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

(3)、抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．

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20. 某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式： $y = {\begin{cases} 20 x (0 \leq x \leq 5) \\ 10 x + 100 (5 < x \leq 20) \end{cases}$

(1)、小华第几天生产的帽子数量为220顶？

(2)、如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？

(3)、设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第 $(m + 1)$ 天的利润比第m天的利润至少多49元，则第 $(m + 1)$ 天每顶帽子至少应提价几元？

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21. 如图，已知抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交x轴于A（－3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、连接OP，BP，若 $S_{△ B O P} = 2 S_{△ A O C}$ ，求点P的坐标；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. [定义]若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．

(1)、如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P，PC⊥x轴于点C，它与x轴交于点A，B，则AB的长为抛物线y=ax²+bx+c关于x轴的跨径，PC的长为抛物线y=a²+bx+c关于x轴的矢高， $\frac{P C}{A B}$ 的值为抛物线y=ax²+bx+c关于x轴的矢跨比．

(2)、[特例]如图15，已知抛物线y=-x²+4与x轴交于点C，D (点C在点D右侧)：
①抛物线y=-x²+4关于x轴的矢高是，跨径是，矢跨比是；
②有一抛物线经过点c，与抛物线y=-x²+4开口方向与大小一样，且矢高是抛物线y=-x²+4关于x轴的矢高的 $\frac{1}{4}$ ，求它关于x轴的矢跨比；

(3)、[推广]结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的k(k>0)倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍(用含k的代数式表示)；

(4)、[应用]如图16是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为 $\frac{1}{6}$ ，则边跨的矢跨比是。

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x	…	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	…
y	…	﹣11	﹣5	﹣1	1	1	…

x（元/件）	40	50	60
y（件）	10000	9500	9000

2023-2024学年初中数学湘教版九年级下学期 第1章 二次函数 单元测试A卷

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