2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期第1章直角三角形单元测试A卷

试卷更新日期：2024-04-03 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）。

A、5，6，7 B、5，12，13 C、1，4，9 D、5，11，12

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2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ， D为 $B C$ 上一点， $C D = A D = 2$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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4. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）

A、6 B、36 C、64 D、8

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5. 如图所示，在△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， DE为AB的中垂线， $A D = 12$ ，则CD的长是（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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6. 如图，l₁∥l₂∥l₃ ，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为l₁ ， l₂ ， l₃上的动点，连结AB ，AC，BC，AC与l₂交于点D，∠ABC= 90°，则BD的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 在长为 $16 c m$ ，宽为 $12 c m$ 的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位： $c m$ ）不正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD ，则BD的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）

A、AE＝3CE B、AE＝2CE C、AE＝BD D、BC＝2CE

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10. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm ，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）

A、20cm B、30cm C、40cm D、20 $\sqrt{2}$ cm

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二、填空题

11. 已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为.

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12. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=46°，则∠A的度数为．

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13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝ $\sqrt{3}$ ，则AD的长为．

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14. 如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB²﹣AC²的值为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， A B = 15$ ，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B ， B C ， A C$ 上，连接 $D E ， E F ， D F$ ，若 $B D = 6$ ，且 $△ D E F$ 是等边三角形，则 $C F =$ ．

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三、解答题

16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5.求四边形ABCD的面积.

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17. 如图，长方形 ABCD与长方形AEFG 是全等图形，延长 CD 交 FG 于点 M，连结 AM.设AE 与 CD 相交于点 N，求证：△AMN 是等腰三角形.

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18. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， S_{△ A B C} =$ $3 \sqrt{2} {cm}^{2} ， B C = \sqrt{3} cm，CD⊥AB$ 于点 $D$ . 求 $A C ， C D$ 得长.

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四、实践探究题

19. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的 $2$ 倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形 $!$ 并做了如下证明：
设等边三角形的边长为 $a$ ，
$∵ a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$ ，
$∴$ 等边三角形一定是奇异三角形．
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？

(1)、在 $R t △ A B C$ 中，两直角边长分别是 $a = 5 \sqrt{2}$ 、 $b = 10$ ，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．

(2)、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $B C = a$ ，且 $b > a$ ，若 $R t △ A B C$ 是奇异三角形，求 $a$ ： $b$ ： $c$ 的值．

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20. 勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．

(1)、（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．

(2)、（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间满足的等量关系是：．

(3)、迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别是 $3$ ， $5$ ， $3$ ， $2$ ，则正方形 $E$ 的面积是．

(4)、（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间满足的等量关系是．

(5)、迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，分别以三边为直径作半圆．若 $a = 5$ ， $c = 13$ ，则图中阴影部分的面积等于．

(6)、（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 $3$ 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 $8$ 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？

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五、综合题

21. 如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.

(1)、分别求出线段AB，CD的长度；

(2)、在图中画线段EF，使得EF的长为 $\sqrt{5}$ ，以AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.

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22. 如图，点 $O$ 是等边三角形 $A B C$ 内的一点， $∠ B O C = 150 °$ ，将 $△ B O C$ 绕点 $C$ 按顺时针旋转得到 $△ A D C$ ，连接 $O D$ ， $O A$ 。

(1)、求 $∠ O D C$ 的度数；

(2)、若 $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，求 $A O$ 的长。

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23. 某条道路限速 $80 k m / h$ ，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 $30 m$ 的C处，过了 $2 s$ ，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 $50 m$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、这辆小汽车超速了吗？

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 2 C D$ ， F是 $A D$ 的中点， $C E ⊥ A B$ ，垂足为点E ，连接 $E F$ 、 $C F$ ．

(1)、求证： $C F$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、若 $B E = 5$ ， $C E = 12$ ，求 $△ E C F$ 的面积；

(3)、请判断线段 $E F$ 与 $C F$ 的数量关系，并说明理由．

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2023-2024学年初中数学湘教版八年级下学期 第1章 直角三角形 单元测试A卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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