湘豫名校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，集合 $A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${3}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${2, 4, 6}$ D、 ${1, 2, 4, 6}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{z - 3} = i, i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若函数 $f (x) = 3 c o s (2 x + φ - \frac{π}{3}) (0 < φ < π)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知 $a = 3^{0.4}, b = {(l o g_{3} a)}^{3}, c = l o g_{3} (l o g_{3} a)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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5. 某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队荻胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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6. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, A B = 2 C D = 2 \sqrt{2}, A D = 1$ .若 $A, B$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的两个公共焦点， $C, D$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两个交点，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率之积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 A B = 4, D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点， $F$ 为 $A D$ 上一点，且满足 $A F = B F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知直线 $l_{1} : y = t x + 5 (t \in R)$ 与直线 $l_{2} : x + t y - t + 4 = 0 (t \in R)$ 相交于点 $P$ ，且点 $P$ 到点 $Q (a, 3)$ 的距离等于1，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} - 3, - 2 \sqrt{2} - 1]$ B、 $[- 2 \sqrt{2} - 3, 2 \sqrt{2} - 1]$ C、 $[- 2 \sqrt{2} - 3, - 2 \sqrt{2} - 1] \cup [2 \sqrt{2} + 1, 2 \sqrt{2} + 3]$ D、 $[- 2 \sqrt{2} - 3, - 2 \sqrt{2} - 1] \cup [2 \sqrt{2} - 3, 2 \sqrt{2} - 1]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）

A、2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 B、2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 C、2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大 D、2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为0的函数， $f (x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ 的图象的对称中心也是 $f (x)$ 图象的一个对称中心，则（）

A、点 $(- 2, 0)$ 是 $f (x)$ 的图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 为周期函数，且4是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (4 - x)$ 为偶函数 D、 $f (31) + f (35) = 2$

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11. 如图，在正四面体 $P - A B C$ 中， $A B = 18, D, E, F$ 分别为侧棱 $P A, P B, P C$ 上的点，且 $A D = B E = C F = \frac{1}{2} P D$ ， $G$ 为 $E F$ 的中点， $Q$ 为四边形 $E B C F$ 内（含边界）一动点， $A Q = 6 \sqrt{7}$ ，则（）

A、 $A G ⊥ P B$ B、五面体 $A B C - D E F$ 的体积为 $342 \sqrt{2}$ C、点 $Q$ 的轨迹长度为 $6 π$ D、 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知圆锥 $S O_{1}$ 的轴截面 $S A B$ 为正三角形，球 $O_{2}$ 与圆锥 $S O_{1}$ 的底面和侧面都相切.设圆锥 $S O_{1}$ 的体积､表面积分别为 $V_{1}, S_{1}$ ，球 $O_{2}$ 的体积､表面积分别为 $V_{2}, S_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} \cdot \frac{S_{2}}{S_{1}} =$ .

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13. 已知角 $α, β$ 满足 $β \neq k π, α + β \neq k π (k \in Z), t a n (α + β) c o s β = s i n β + t a n α c o s β$ ，则 $s i n α =$ .

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14. 已知 $a, b$ 为实数，若不等式 $| 2 a x^{2} + (4 a + b) x + 4 a + b | ⩽ 2 | x + 1 |$ 对任意 $x \in [- \frac{1}{4}, 1]$ 恒成立，则 $3 a + b$ 的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 设函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + 1, a \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线与直线 $5 x + 8 y = 0$ 平行.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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16. 如图1，Rt $△ Q D C$ 中， $∠ D = 9 0^{∘}, A, B$ 分别是线段 $Q D, Q C$ 上的动点，且 $\frac{Q A}{A D} = \frac{Q B}{B C} = λ (λ > 0)$ ，将 $△ Q A B$ 沿 $A B$ 折起至 $△ P A B$ ，如图2，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 为 $P D$ 的中点，且 $A E$ $∥$ 平面 $P B C$ .

(1)、证明： $λ = 1$ ；

(2)、若 $P A ⊥ A D, A P = \frac{1}{2} D C = 2, M$ 为线段 $C D$ 上一点，若平面 $P B M$ 与平面 $P C D$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P B M$ 所成角的正弦值.

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17. 除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家 $n (n ⩾ 3)$ 个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.

(1)、当 $n = 4$ 时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；

(2)、现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为 $X_{n}$ ，求满足 $E (X_{n}) > 5$ 的 $n$ 的最小值.
注：若 $X_{i} (i = 1, 2, ⋯, n)$ 均为离散型随机变量，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})$ .

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18. 如图，过点 $D (1, \sqrt{3})$ 的动直线 $l$ 交抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、若 $O D ⊥ A B, O A ⊥ O B$ ，求 $C$ 的方程；

(2)、当直线 $l$ 变动时，若 $l$ 不过坐标原点 $O$ ，过点 $A, B$ 分别作（1）中 $C$ 的切线，且两条切线相交于点 $M$ ，问：是否存在唯一的直线 $l$ ，使得 $∠ A M D = ∠ B M D$ ？并说明理由.

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19. 已知由 $m (m ⩾ 3)$ 个数构成的有序数组 $A : (a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m})$ ，如果 $| a_{1} - a_{i} | ⩽ | a_{1} - a_{i + 1} | (i = 2, 3, ⋯, m - 1)$ 恒成立，则称有序数组 $A$ 为“非严格差增数组”.

(1)、设有序数组 $P : (2, 3, 0, 4), Q : (1, 2, 3, 0, 4)$ ，试判断 $P, Q$ 是否为“非严格差增数组”？并说明理由；

(2)、若有序数组 $R : (1, t, t^{2}, ⋯, t^{11}) (t \neq 0)$ 为“非严格差增数组”，求实数 $t$ 的取值范围.

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