浙江省9+1联盟2023-2024学年高三下学期3月高考模拟数学试卷

试卷更新日期：2024-04-02 类型：高考模拟

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}, M ∩ (∁_{U} N) = {1, 2}, (∁_{U} M) ∩ N = {4}, ∁_{U} (M ∪ N) = {3}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${4}$ C、 ${5}$ D、 ${1, 2}$

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2. 若复数 $z$ 的实部大于0，且 $\bar{z} (z + 1) = \frac{20}{3 + i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 已知向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 是平面上两个不共线的单位向量，且 $\vec{A B} = {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}, \vec{B C} = - 3 {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}, \vec{D A} = 3 {\vec{e}}_{1} - 6 {\vec{e}}_{2}$ ，则（）

A、 $A 、 B 、 C$ 三点共线 B、 $A 、 B 、 D$ 三点共线 C、 $A 、 C 、 D$ 三点共线 D、 $B 、 C 、 D$ 三点共线

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{9} = 40$ ，且数列 ${\sqrt{n} a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{100} =$ （）

A、10 B、40 C、100 D、103

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5. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V, E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）

A、 $\frac{7}{24} V$ B、 $\frac{7}{17} V$ C、 $\frac{7}{15} V$ D、 $\frac{1}{2} V$

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6. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $l : y = x - \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 与 $E$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $\vec{O A} + \vec{O B} = (2 λ, - λ) (λ \neq 0)$ ．则椭圆 $E$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（）

A、2025种 B、4050种 C、8100种 D、16200种

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8. 设函数 $f (x) = s i n x + \sqrt{3} c o s x + 1$ ．若实数 $a 、 b 、 φ$ 使得 $a f (x) + b f (x - φ) = 1$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $a - b c o s φ =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\pm 1$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 为了得到函数 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度

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10. 高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是 $\frac{1}{2}$ ，记 $X$ 为小明随机选择1个选项的得分，记 $Y$ 为小明随机选择2个选项的得分．则

A、 $P (X = 0) > P (Y = 0)$ B、 $P (X = 2) > P (Y = 2)$ C、 $E (X) > E (Y)$ D、 $D (X) > D (Y)$

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11. 对于 $x \in [0, 1], f (x)$ 满足 $f (x) + f (1 - x) = 1, f (x) = 2 f (\frac{x}{3})$ ，且对于 $0 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 1$ ．恒有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ．则（）

A、 $\sum_{i = 1}^{100} f (\frac{i}{100}) = \frac{101}{2}$ B、 $f (\frac{1}{6}) = 2 f (\frac{1}{24})$ C、 $f (\frac{1}{80}) = \frac{1}{80}$ D、 $\frac{1}{32} \leq f (\frac{1}{160}) \leq \frac{1}{16}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

12. 已知 $(a x - 1)^{2} (2 x - 1)^{3} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ．若 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $a_{3} =$ ．

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13. 应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜 $P O_{1} Q$ 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 $M O_{2} N$ 弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的两个焦点，其中 $F_{2}$ 同时又是抛物线的焦点，且， $∠ N F_{2} F_{1} = 45 °, t a n ∠ N F_{1} F_{2} = \frac{1}{4}, △ N F_{1} F_{2}$ 的面积为10， $| O_{1} F_{2} | = 8$ ，则抛物线方程为．

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14. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} e^{3 x} - 3 l n x - 1}{x} (x > 0)$ 的最小值是．

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四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A B = \sqrt{2} A A_{1}, D, E$ 分别为棱 $A_{1} B_{1}, B C$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} B ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $A - C_{1} D - E$ 的正弦值．

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16. 今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．

(1)、将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；

(2)、将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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17. 如图，由部分椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0, y \leq 0)$ 和部分双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y \geq 0)$ ，组成的曲线 $C$ 称为“盆开线”．曲线 $C$ 与 $x$ 轴有 $A (2, 0) 、 B (- 2, 0)$ 两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ．

(1)、设过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相切于点 $M$ ，求点 $M$ 的坐标及直线 $l$ 的方程；

(2)、过 $A$ 的直线 $m$ 与 $C$ 相交于点 $P 、 A 、 Q$ 三点，求证： $∠ P B A = ∠ Q B A$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、如果1和 $- 1$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，且 $f (x)$ 的极大值为3，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $b = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $c = 0$ 时，且函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上最大值为2，最小值为 $- 2$ ．求 $f (3)$ 的值．

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19. 已知实数 $q \neq 0$ ，定义数列 ${a_{n}}$ 如下：如果 $n = x_{0} + 2 x_{1} + 2^{2} x_{2} + ⋯ + 2^{k} x_{k}, x_{i} \in {0, 1}$ ， $i = 0, 1, 2, ⋯, k$ ，则 $a_{n} = x_{0} + x_{1} q + x_{2} q^{2} + ⋯ + x_{k} q^{k}$ ．

(1)、求 $a_{7}$ 和 $a_{8}$ （用 $q$ 表示）；

(2)、令 $b_{n} = a_{2^{n - 1}}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} = a_{2^{n} - 1}$ ；

(3)、若 $1 < q < 2$ ，证明：对于任意正整数 $n$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $a_{n} < a_{m} \leq a_{n} + 1$ ．

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