广东省清远市连州市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $f_{}^{'} (16) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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2. 若复数 $z = a^{2} + i (a - 1 + i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、0

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3. 三名学生分别从 $5$ 门选修课中选修一门课程，不同的选法有（）

A、 $125$ 种 B、 $243$ 种 C、 $60$ 种 D、 $10$ 种

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4. 下列导数运算正确的是（）

A、 ${(s i n x)}^{^{'}} = - c o s x$ B、 ${(3^{x})}^{^{'}} = 3^{x}$ C、 ${(l o g_{2} x)}^{^{'}} = \frac{1}{x \cdot l n 2}$ D、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = \frac{1}{x^{2}}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{e_{}^{x - 1}}{x}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a s i n 2 B - \frac{c}{2} s i n 2 A = a s i n A c o s C$ ．则角 $B =$ （）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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7. 过曲线 $S$ ： $y = 3 x - x^{3}$ 上一点 $A (2, - 2)$ 的切线方程为（）

A、 $9 x - y - 16 = 0$ 或 $y = - 2$ B、 $9 x + y - 16 = 0$
C、 $9 x + y - 16 = 0$ 或 $y = - 2$ D、 $9 x - y - 16 = 0$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x f ‘ (x) < f (x)$ ，则不等式 $5 f (2 - x) + (x - 2) f (5) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3,0) \cup (0,3)$
C、 $(- 3,0) \cup (0,7)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (2,7)$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，以下命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $x = - 4$ 处取得最小值 B、 $x = 0$ 是函数 $y = f (x)$ 的极值点 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 4, 1)$ 上不单调 D、 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线的斜率大于零

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10. 已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x} - 3 l n x$ ，记 $f (x)$ 的极小值点为 $x_{1}^{}$ ，极大值点为 $x_{2}^{}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 3$ B、 $x_{1} < x_{2}$ C、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - 3 l n 2$ D、 $f (x_{1}) < f (x_{2})$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (S_{n} \neq 0)$ ，且满足 $a_{n} + 4 S_{n - 1} S_{n} = 0 (n \geq 2)$ ， $a_{1} = \frac{1}{4}$ ，则下列说法错误的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 4 n$ B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = - \frac{1}{4 n (n - 1)}$ C、数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 为递增数列 D、数列 ${a_{n}}$ 为递增数列

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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13. 用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有个．

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14. 若点 $P$ 是曲线 $y = l n x - x^{2}$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $l$ ： $x + y - 4 = 0$ 距离的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 求证：对于 $\forall x \in R$ ，都有 $x_{}^{2} \geq l n (x_{}^{2} + 1)$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = x s i n x + c o s x$ ， $x \in (0,2 π)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = π$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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17. 若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0)$ 过抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点，且与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有相同的焦点．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、不过原点O的直线 $l : y = x + m$ 与椭圆E交于A、B两点，求 $△ A B O$ 面积的最大值以及此时直线l的方程．

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18. 已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形 $A M C_{1}$ 是以M为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)、证明M是BC中点；

(2)、求二面角 $M - A C_{1} - C$ 的大小；

(3)、直接写出点C到平面 $A M C_{1}$ 的距离.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有且仅有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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