福建省厦门市杏南中学2023-2024学年高一下学期3月第一阶段测试数学试题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 计算 $z = \frac{5 (1 + i^{3})}{(2 + i) (2 - i)} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为单位向量，它们的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点，点 $E$ 是线段 $C D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\vec{A E} = \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ C、 $\vec{A E} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C}$

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5. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 且 $| \vec{a} | = 2, \vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1, 1)$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (c o s A, c o s B), \vec{n} = (a, 2 c - b)$ ，若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则角 $A$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 位于某海域 $A$ 处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的 $B$ 处有一艘渔船遇险后抛针等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西 $30 °$ ，且与甲船相距 $10 n m i l e$ 的 $C$ 处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则 $s i n ∠ A C B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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8. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b = 6, c = 8$ ，且 $b c o s C + c c o s B = 10, P$ 是 $A B$ 边上的动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的取值范围是（）

A、 $[- 32, 64]$ B、 $[- 4, 128]$ C、 $[- 8, 32]$ D、 $[- 8, 64]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列命题为真命题的是（）

A、复数 $- 2 - i$ 的虚部为 $- i$ B、若 $| z | \leq 1$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点 $Z$ 的集合确定的图形面积为 $π$ C、若 $i$ 为虚数单位， $n$ 为正整数，则 ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{4 n} = 1$ D、在复平面内，复数 $- 2 + i$ 的共轭复数对应的点在第四象限

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10. 已知向量 $\vec{a} = (4, 3 - m), \vec{b} = (1, m)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = \frac{3}{5}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - 1$ C、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的最小值为6 D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $- 1 < m < 4$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $b = 3, a = 4, B = 45 °$ ，则此三角形有两解 C、若 $a \cdot c o s A = b \cdot c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $a + b = c (c o s A + c o s B)$ ，且 $c = 1$ ，则该三角形内切圆面积的最大值是 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{4} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $1 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + 2 = 0$ 的一个根，则实数 $p =$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a c o s B = b s i n A$ ．则角 $B =$ ；若 $a = \sqrt{2}, c = 3$ ，则 $b$ 的值为

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14. 在 $△ A B C$ 中，若 $c o s^{2} A + c o s^{2} B - c o s^{2} C = 1 + s i n A s i n B$ ，且 $A B$ 边上的中线长为2，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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四、解答题：共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知复数 $z = m^{2} + m - 2 + (m - 1) i (m \in R)$

(1)、若 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = \frac{1}{2} x$ ，求 $| z |$ ．

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16. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为平面向量，且 $\vec{a} = (1, 2)$ ．

(1)、若 $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，且 $| \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$ ，求向量 $\vec{b}$ 的坐标．

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $2 a s i n C = \sqrt{3} c$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 2, a = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = A C = 2, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值；

(3)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (s i n B + s i n C, s i n A + s i n B), \vec{n} = (s i n B - s i n C, s i n A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，
（ⅰ）求 $△ A B C$ 面积的最大值；
（ⅱ）求 $2 a + b$ 的取值范围．

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