广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一（下）月考数学试卷（3月份）

试卷更新日期：2024-04-02 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 化简 $\vec{O P} + \vec{P S} + \vec{S Q}$ 的结果等于（）

A、 $\vec{Q P}$ B、 $\vec{O Q}$ C、 $\vec{S P}$ D、 $\vec{S Q}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (4,2)$ ，向量 $\vec{b} = (x, 3)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $9$ B、 $6$ C、 $5$ D、 $3$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = \sqrt{61}$ ，则角 $C$ 等于（）

A、 $120 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, x), \vec{b} = (2,1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若三边之比 $a$ ： $b$ ： $c = 2$ ： $3$ ： $4$ ，则 $\frac{s i n A - 2 s i n B}{2 s i n C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，点 $F$ 在 $B E$ 上，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$
B、 $\frac{4}{5}$
C、 $\frac{5}{6}$
D、 $\frac{6}{7}$

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8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 $\cdot$ 德 $\cdot$ 费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于 $120 °$ 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 $120 °$ ；当三角形有一内角大于或等于 $120 °$ 时，所求点为三角形最大内角的顶点 $.$ 在费马问题中所求的点称为费马点 $.$ 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b^{2} - (a - c)^{2} = 6$ ， $\frac{c o s A}{2 c o s B} = s i n (C - \frac{π}{6})$ ，若点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 2$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (1,0)$ ， $\vec{b} = (1,2 \sqrt{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 16$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2$
C、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $30 °$ D、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a$ ： $b$ ： $c = 7$ ： $5$ ： $3$ ，下列结论中正确的是（）

A、这个三角形被唯一确定
B、 $△ A B C$ 一定是钝角三角形
C、 $s i n A$ ： $s i n B$ ： $s i n C = 7$ ： $5$ ： $3$
D、若 $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$

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11. 如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $θ (θ \neq \frac{π}{2})$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ ， $y$ 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 斜坐标系，若 $\vec{O M} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O M}$ 的斜坐标，记为 $\vec{O M} = (x, y) .$ 在 $θ = \frac{π}{4}$ 的斜坐标系中， $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 1) .$ 则下列结论中，错误的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} = (\frac{1}{2} - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$ B、 $| \vec{a} | = 1$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}, \frac{2 \sqrt{6} + 3}{5})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c o s A = \frac{1}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 3$ ，则 $b =$ ．

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13. 设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{π}{3}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ ．

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14. 如图，点 $M$ ， $N$ 在无法到达的河对岸，为测量出 $M$ ， $N$ 两点间的距离，在河岸边选取 $A$ ， $B$ 两个观测点，测得 $| A B | = m$ ， $∠ M A N = ∠ N A B = 30 °$ ， $∠ A B M = 60 °$ ， $∠ M B N = 45 °$ ，则 $M$ ， $N$ 两点之间的距离为 $($ 结果用 $m$ 表示 $)$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知向量 $a = (3,2)$ ， $b = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $a + b$ 与 $2 a - 3 b$ 的坐标；

(2)、求向量 $a$ ， $b$ 的夹角的余弦值．

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16. 在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3}$ a=2csinA．

(1)、确定角C的大小；

(2)、若c= $\sqrt{7}$ ，且ab=6，求边a，b．

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17. 已知 $\vec{a} = (- 1,0)$ ， $\vec{b} = (2,1)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值．

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c + b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 是 $B C$ 上的点， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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19. 对于三维向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}, z_{k}) (x_{k}, y_{k}, z_{k} \in N, k = 0,1, 2, \dots)$ ，定义“ $F$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F (\vec{a_{k}})$ ，其中， $x_{k + 1} = | x_{k} - y_{k} |$ ， $y_{k + 1} = | y_{k} - z_{k} |$ ， $z_{k + 1} = | z_{k} - x_{k} | .$ 记 $〈 \vec{a_{k}} 〉 = x_{k} y_{k} z_{k}$ ， $| | \vec{a_{k}} | | = x_{k} + y_{k} + z_{k}$ ．

(1)、若 $\vec{a_{0}} = (3,1, 2)$ ，求 $〈 \vec{a_{2}} 〉$ 及 $| | \vec{a_{2}} | |$ ；

(2)、证明：对于任意 $\vec{a_{0}}$ ，经过若干次 $F$ 变换后，必存在 $K \in N^{*}$ ，使 $〈 \vec{a_{K}} 〉 = 0$ ；

(3)、已知 $\vec{a_{1}} = (p, 2, q) (q \geq p)$ ， $| | \vec{a_{1}} | | = 2024$ ，将 $\vec{a_{1}}$ 再经过 $m$ 次 $F$ 变换后， $| | \vec{a_{m}} | |$ 最小，求 $m$ 的最小值．

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