北师大版数学中考仿真模拟试题（三）

试卷更新日期：2024-04-02 类型：中考模拟

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一、选择题（每题4分，共40分）

1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若 $∠ 1 = 56 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）．

A、 $26 °$ B、 $30 °$ C、 $36 °$ D、 $56 °$

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3. 在一个不透明的袋子中，装有 $3$ 个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则袋中黑球的个数为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $9$

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4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 估计 $\sqrt{2} (\sqrt{8} + \sqrt{10})$ 的值应在（）

A、7和8之间 B、8和9之间 C、9和10之间 D、10和11之间

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6. 将含 $30 °$ 角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若 $∠ 1 = 70 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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7. 如图，直线 $y = x + 1$ 、 $y = x - 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 分别相交于点 $A 、 B 、 C 、 D$ ．若四边形 $A B C D$ 的面积为4，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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8. 如图，半径为 $5$ 的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，若 $C D = C E$ ，则图中阴影部分面积为(　　)

A、 $\frac{25 π}{16}$ B、 $\frac{25 π}{8}$ C、 $\frac{25 π}{6}$ D、 $\frac{25 π}{4}$

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9. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上的一点， $P F ⊥ A D$ 于点 $F$ ， $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $P C$ ，当 $P E$ ： $P F = 1$ ： $2$ 时，则 $P C =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10. 如图，要围一个矩形菜园 $A B C D$ ，共中一边 $A D$ 是墙，且 $A D$ 的长不能超过 $26 m$ ，其余的三边 $A B ， B C ， C D$ 用篱笆，且这三边的和为 $40 m$ ．有下列结论：
① $A B$ 的长可以为 $6 m$ ；
② $A B$ 的长有两个不同的值满足菜园 $A B C D$ 面积为 $192 m^{2}$ ；
③菜园 $A B C D$ 面积的最大值为 $200 m^{2}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 关于x的方程 $\frac{x + m}{x - 2} - 1 = \frac{x - 1}{2 - x}$ 的解为非负数，则m的取值范围是．

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12. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．

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13. 一副三角板按如图所示放置，点A在 $D E$ 上，点F在 $B C$ 上，若 $∠ E A B = 35 °$ ，则 $∠ D F C =$ °．

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14. 广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为．

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15. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， A C = 3 ， B C = 1$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}}$ .连接 $B B^{^{'}}$ ，交AC于点 $D$ ，则 $\frac{A D}{D C}$ 的值为.

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16. 我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数 $y = 2 x$ 的图象向上平移1个单位得到 $y = 2 x + 1$ 的图象；将二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象向左平移2个单位得到 $y = {(x + 2)}^{2} + 1$ 的图象．若将反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．

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三、解答题（共9题，共86分）

17. 计算： $| - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(π + 1)}^{0} - t a n 60 °$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{a - 4}{a} \div (\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} - \frac{a - 1}{a^{2} - 4 a + 4})$ ，其中 $a$ 满足 $a^{2} - {(\frac{1}{4})}^{- 1} \cdot a + 6 c o s 60 ° = 0$ ．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，连接 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $D E$ 平分 $∠ A D B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $B F$ 平分 $∠ C B D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ ， $D F$ ．

(1)、求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 是菱形且 $A B = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，求四边形 $B E D F$ 的面积．

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20. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：

(1)、求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．

(2)、请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

(3)、若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．

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21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据： $s i n 16 ° ≈ 0.28$ ， $c o s 16 ° ≈ 0.96$ ， $t a n 16 ° ≈ 0.29$ ）

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D ，交OA于点E ，连结OB ．

(1)、求证：BD＝BC ．

(2)、已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = - 2 x + 2$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象分别交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴， $x$ 轴分别交于点 $C$ ，点 $D$ ，作 $A E ⊥ y$ 轴，垂足为点 $E$ ， $O E = 4$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、在第二象限内，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围；

(3)、点 $P$ 在 $x$ 轴负半轴上，连接 $P A$ ，且 $P A ⊥ A B$ ，求点 $P$ 坐标．

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24.

(1)、【特例感知】
如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2)、【变式求异】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值．

(3)、【拓展应用】
如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\frac{P Q}{Q M}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 $A (6 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， - 6)$ ，抛物线经过点A ， B ，且对称轴是直线 $x = 1$ .

(1)、求直线l的解析式；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 $P C ⊥ x$ 轴，垂足为C ，交直线l于点D ，过点P作 $P M ⊥ l$ ，垂足为M.求 $P M$ 的最大值及此时P点的坐标.

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