2024年吉林省中考数学模拟卷（一）

试卷更新日期：2024-04-02 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 下列各式计算结果是负数的是（）

A、 $(- 2)^{3}$ B、 $(- 3)^{2}$ C、 $| - 3 |$ D、 $- (- 3)$

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2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（）

A、0.28×10¹³ B、2.8×10¹¹ C、2.8×10¹² D、28×10¹¹

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3. 如图，在下列条件中，能够证明 $A D / / C B$ 的条件是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 4$ B、 $∠ B = ∠ 5$ C、 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ D = 180 °$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$

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4. 下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，已知点 $A (2 ， a)$ 在反比例函数 $y_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{x}$ 的图象上，过点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B$ ，连接 $O A$ ，将 $△ A O B$ 沿 $O A$ 翻折，点 $B$ 的对应点 $B'$ 恰好落在 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则 $k$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$
B、 $- \sqrt{3}$
C、 $2 \sqrt{3}$
D、 $- 2 \sqrt{3}$

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6. 已知直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$ ，如图，
$(1)$ 在直线 $l$ 上取一点 $O$ ，以点 $O$ 为圆心， $O P$ 长为半径画半圆，交直线 $l$ 于 $A$ ， $B$ 两点；
$(2)$ 连接 $P A$ ，以点 $B$ 为圆心， $A P$ 长为半径画弧，交半圆于点 $Q$ ；
$(3)$ 作直线 $P Q$ ，连接 $B P$ ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A、 $A P = B Q$ B、 $P Q / / A B$
C、 $∠ A B P = ∠ P B Q$ D、 $∠ A P Q + ∠ A B Q = 180 °$

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二、填空题

7. 分解因式： $4 y - y^{2} =$ ．

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8. 若分式 $\frac{- 6}{7 - x}$ 的值为正数，则x的取值范围．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，尺规作图作出 $B C$ 的垂直平分线与 $A B$ 交于点 $D$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为．

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10. 如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'．已知 $\frac{O A}{O A^{^{'}}} = \frac{1}{3}$ ，若△ABC的面积是3，则△A´B´C´的面积为．

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11. 如图，在扇形 $B O C$ 中， $∠ B O C = 60 °$ ， $O D$ 平分 $∠ B O C$ 交 $\overset{�}{B C}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为半径 $O B$ 的中点．若 $O B = 4$ ，则阴影部分的面积为．

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12. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗 $.$ 利群商厦从 $5$ 月 $12$ 日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买 $4$ 盒肉粽和 $5$ 盒白粽需 $350$ 元，打折后购买 $5$ 盒肉粽和 $10$ 盒白粽需 $360$ 元 $.$ 设打折前每盒肉粽的价格为 $x$ 元，每盒白粽的价格为 $y$ 元，则可列方程组．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 与正方形 $A E F G$ 起始时互相重合，现将正方形 $A E F G$ 绕点 $A$ 逆时针旋转．设旋转角 $∠ B A E = α (0 ° < α < 360 °)$ ，则当 $α =$ 时，正方形的顶点 $F$ 落在直线 $B C$ 上．

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14. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．甲在 $O$ 点正上方的 $A$ 处发出一球，以点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系，羽毛球飞行的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间满足函数解析式 $y = - \frac{1}{5} (x - 4)^{2} + \frac{21}{5}$ ，球网 $B C$ 离点 $O$ 的水平距离为 $5$ 米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上 $N (n ， 0)$ 处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为 $2.4$ 米，若乙因接球高度不够而失球，则 $n$ 的取值范围是．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(x - y)}^{2} + y (y + 2 x)$ ，其中 x= $\sqrt{2}$ ， y= $\sqrt{3}$ .

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16. 如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．

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17. 在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有 $A$ ， $B$ 两种机器人， $A$ 型机器人比 $B$ 型机器人每小时多搬运 $30 k g$ ， $A$ 型机器人搬运 $900 k g$ 所用时间与 $B$ 型机器人搬运 $600 k g$ 所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

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18. 现有三位亚运冠军（依次标记为A ， B ， C）．为了让同学们了解他们的训练日常，陈老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A ， B ， C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应亚运冠军的训练日常．

(1)、求小张在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；

(2)、用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同亚运冠军的概率．

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19. 如图， $A$ ， $B$ 是 $⊙ O$ 上的点， $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，连结 $P A$ ， $P B$ ，分别交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ ，且 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$ ．

(1)、求证： $P A = P B$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为6， $∠ P = 60 °$ ， $\overset{⌢}{C D} = 3 \overset{⌢}{A C}$ ，求图中阴影部分的面积．

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20. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：

(1)、写出扇形图中a＝ ▲ %，并补全条形图；

(2)、在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 ▲ 个、▲ 个．

(3)、该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？

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21. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上，点 $E$ 为AB中点，请按要求完成作图：

(1)、作线段EF，使得 $E F = A B$ ，且 $E F ⊥ A B$ ，点 $F$ 在格点上；

(2)、作线段EG，使得EG平分线段BC，点 $G$ 在格点上；

(3)、连接线段FG，直接写出线段FG的长．

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22. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $A C$ 是最短边．以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ ，交 $B C$ 于D ，过O作 $O E ∥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于E ，连接 $A D$ 、 $A E$ 、 $C E$ ．

(1)、求证： $∠ A C E = ∠ D C E$ ；

(2)、若 $∠ B = 45 °$ ， $∠ B A E = 15 °$ ，求 $∠ E A O$ 的度

(3)、若 $A C = 1$ ， $\frac{S_{△ C D F}}{S_{△ C O E}} = \frac{2}{3}$ ，求 $C F$ 的长．

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23. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离 $y_{1}$ （单位：km）， $y_{2}$ （单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：

(1)、甲车的行驶速度为km/h，乙车的行驶速度为km/h；

(2)、当 $1 \leq t \leq 4$ 时，求乙车与C地的距离 $y_{2}$ 与甲车行驶时间t之间的函数关系式；

(3)、当乙车出发小时，两车相遇；

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24. 如图，一次函数 $y = k x + 2 (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0 ， x > 0)$ 的图象交于点 $A (2 ， n)$ ，与y轴交于点B，与x轴交于点 $C (- 4 ， 0)$ .

(1)、求k与m的值；

(2)、 $P (a ， 0)$ 为x轴上的一动点，当△APB的面积为 $\frac{7}{2}$ 时，求a的值.

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25. 综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，同学们以“折叠矩形”为主题开展数学活动．已知，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点P是AB边上一点，将△APD沿直线PD折叠，点A的对应点为点E．
【操作发现】

(1)、如图①，当点P与点B重合时，过点E作EF∥AB，交BD于点F，连结AF，试判定四边形ABEF的形状，并说明理由．

(2)、操作二：如图②，当点E落在BC边上时，AP＝．

(3)、操作三：如图③，当点P为AB中点时，延长DE交BC于点G，连结PG，则tan∠PGB＝．

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26. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + 2$ 与x轴交于点A，B（A在B左边），与 $y$ 轴交于点C，且OB＝2OC．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P在第四象限的抛物线上，且∠PAB＝∠CBO，求点P的坐标；

(3)、若点D在x轴正半轴上且 $O D = \frac{1}{5} A B$ ，经过点D的直线MN交抛物线于点M，N（M在第一象限，N在第三象限），且满足 $B N / / A M$ ，求MN的解析式．

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