2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 22.6 正方形同步分层训练基础题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列命题是假命题的是（）

A、有一组邻边相等的矩形是正方形 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形 C、有三个角是直角的四边形是矩形 D、有一组邻边相等的四边形是菱形

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2. 如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在边AD，BC上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连结OC.若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）

A、 $2 O C = \sqrt{5} E F$ B、 $\sqrt{5} O C = 2 E F$ C、 $2 O C = \sqrt{3} E F$ D、OC=EF

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3. 下列说法正确的是（）

A、矩形的对角线相等且互相垂直 B、菱形的对角线相等 C、正方形的对角线相等 D、菱形的四个角都是直角

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4. 如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为（）

A、37.5° B、30° C、22.5° D、12.5°

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5. 如图，两把完全一样的直尺叠放在 $-$ 起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断： $①$ 这个四边形可能是正方形 $②$ 这个四边形一定是菱形 $③$ 这个四边形不可能是矩形 $④$ 这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）

A、 $① ②$ B、 $③ ④$ C、 $① ② ④$ D、 $① ② ③ ④$

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6. 如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、5

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7. 四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，问，当正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的10倍时，两条直角边AM与BM的数量关系是（）.

A、 $A M = 2 B M$ B、 $A M = 2 \sqrt{2}$ BM C、 $A M = 3$ BM D、 $A M = \sqrt{10}$ BM

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8. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 $A B C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ D^{'} A B = 30^{°}$ ，则菱形 $A B C^{'} D^{'}$ 的面积与正方形ABCD的面积之比是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

9. 如图，在菱形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件：，使得四边形ABCD 是正方形.

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10. 点O是正方形ABCD的对角线AC、BD交点， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 在BC边上，连接OF， $O F = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则BF的长为．

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11. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为3， $E$ 为 $C D$ 边上一点， $D E = 1$ ．以点 $A$ 为中心，把△ $A D E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得△ $A B E^{'}$ ，连接 $E E^{'}$ ，则 $E E^{'}$ 的长等于

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12. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为cm.

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13. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O₁，O₂是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.

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三、解答题

14. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

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15. 已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．

(1)、求证：四边形AECF是矩形；

(2)、当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

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四、综合题

16. 如图，点 $M$ ， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ ．

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长．

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17. 某小区院内有一块边长为 $(3 a + b)$ 米的正方形地 $(a > 0 ， b > 0)$ ，现在物业部门计划将该地的周围进行绿化（如图中阴影部分）.中间部分将修建一个长为 $(2 a + b)$ 米，宽为 $(a + b)$ 米的长方形景点.

(1)、用含a、b的式子表示绿化的面积；

(2)、求出当 $a = 3$ ， $b = 2$ 时的绿化面积.

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