2023-2024学年冀教版初中数学八年级下册 21.5 一次函数二元一次方程的关系同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，已知两直线 $y = k x + k (k \neq 0)$ 与 $y = 3 x - 6$ 相交于第四象限，则k的取值范围是（）

A、 $- 6 < k < 0$ B、 $- 3 < k < 0$ C、 $- 6 < k < - 3$ D、 $k < - 6$

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2. 一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则二元一次方程组 $\{\begin{cases} y = k x \\ y = - x + 3 \end{cases}$ 的解是（　　）

A、 $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 2 \end{cases}$

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3. 已知关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + y - b = 0 \\ 2 x + y - 3 = 0 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = m \end{array}$ ，则直线 $y = - x + b$ 与直线 $y = - 2 x + 3$ 的交点坐标是（）

A、 $(- 1 ， - 5)$ B、 $(- 1 ， 5)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(5 ， - 1)$

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4. 如图，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与 $y = - \frac{4}{5} x + \frac{3}{5}$ 相交于点 $(2 ， m)$ ，则关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = - \frac{4}{5} x + \frac{3}{5} \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - \frac{11}{5} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$

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5. 如图，直线 $l_{1} ： y = x + m$ 与直线 $l_{2} ： y = - x + n$ 相交于点 $P (1 ， 2)$ ，则关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} y = x + m \\ y = - x + n \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 3$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = m x + n$ 交于点 $A (- 1 ， b)$ ，则关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} y = x + 3 \\ y = m x + n \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 2 \end{array}$

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7. 如图，函数 $y = a x + b$ 和 $y = k x$ 的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a x - y + b = 0 \\ k x - y = 0 \end{array}$ 的解是（）．

A、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$

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8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = m x + n (a < m < 0)$ 的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 $y = m x + n$ 的图象中， $y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大；②方程组 ${\begin{array}{l} y - a x = b \\ y - m x = n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 2 \end{array}$ ；③方程 $m x + n = 0$ 的解为 $x = 2$ ；④当 $x = 0$ 时， $a x + b = - 1$ .
其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 如图，一次函数y=2x+b和y=kx-3(k≠0)的图象交于点P，则二元一次方程组 ${\begin{cases} 2 x - y = - b ， \\ k x - y = 3 \end{cases}$ 的解为.

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10. 已知一次函数y＝-x+m与y＝2x-1的图象如图所示，则关于x ， y的方程组 ${\begin{cases} y = - x + m \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$ 的解为.

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11. 直线 $y = x + 1$ 与直线 $y = m x + n$ 相交于点 $M (1 ， b)$ ，则关于 $x ， y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 1 = y \\ y - m x = n \end{array}$ 的解为．

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12.
如图，一次函数y=kx₁+b₁的图象l₁与y=kx₂+b₂的图象l₂相交于点P，则方程组 $\{\begin{matrix} y = k_{1} x + b_{1} \\ y = k_{2} x + b_{2} \end{matrix}$ 的解是

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13. 当m，n是正实数，且满足m+n＝mn时，就称点P（m， $\frac{m}{n}$ ）为“完美点”．已知点A（1，6）与点B的坐标满足y＝﹣x+b，且点B是“完美点”．则点B的坐标是．

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三、解答题

14. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y₁千米，轿车离甲地的距离y₂千米，y₁、y₂关于x的函数图象如图所示：
①根据图象直接写出y₁、y₂关于x的函数关系式；

②当两车相遇时，求此时客车行驶的时间．

③相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．

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15. 如图，直线y= $\frac{3}{4}$ x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y= $\frac{3}{4}$ x+6上一个动点．

(1)、在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；

(2)、当P运动到什么位置，△OPA的面积为 $\frac{27}{8}$ ，求出此时点P的坐标；

(3)、过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

16. 2023年5月31日，某校举办了首届初一年级学生“数学古文化阅读展示”活动，
为表彰在本次活动中表现优秀的学生，学校决定在6月1日购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知1个笔袋，2筒彩色铅笔共需44元；2个笔袋，3筒彩色铅笔共需73元．解答下列各题：

(1)、每个笔袋、每筒彩色铅笔各多少元？

(2)、时逢“六一儿童节”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过10筒不优惠，超出10筒的部分“八折”优惠．若买x个笔袋需要y₁元，买x筒彩色铅笔需要y₂元．当x>10时，请用含x的式子表示y₁ ， y₂；

(3)、若在（2）的条件下购买同一种奖品95件，请你分析买哪种奖品省钱．

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $A B ： y = 3 x + m (m > 0)$ 交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数： $y = - x + n (n > 0)$ 的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线 $A B$ 交于点P．

(1)、用m，n表示点P的坐标，并求 $∠ P C A$ 的度数；

(2)、若四边形 $P D O A$ 的面积是 $\frac{11}{2}$ ，且 $B D ： C O = 1 ： 2$ ，试求点P的坐标及直线 $A B$ 的关系式；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将直线 $A B$ 向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线 $M N$ 上一动点，连接 $P E$ ，在坐标轴上是否存在点F，使 $△ P E F$ 是以 $P E$ 为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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