2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 11.3 公式法同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列因式分解中，错误的是（）

A、 $a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$ B、 $x^{2} + 2 x y + y^{2} = {(x + y)}^{2}$ C、 $a^{2} b - 2 a b + b = b {(a - 1)}^{2}$ D、 $- a^{2} - 12 a - 9 = - {(a + 3)}^{2}$

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2. 已知 2x+y=2，2xy=1，则 $2 x^{2} y + x y^{2}$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 已知a≠c，若 $M = a^{2} - a c ， N = a c - c^{2} ，$ 则M与N的大小关系是（）

A、M>N B、M=N C、M<N D、M≥N

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4. 设n为整数，则 $\frac{1}{2} {(2 n + 1)}^{2} - 12 ， 5$ 一定能被（）

A、3 整除 B、4整除 C、6 整除 D、8整除

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5. 下列利用因式分解简便计算69×99+32×99-99的过程中，正确的是（）

A、原式=99×（69+32）=99×101=9999 B、原式=99×（69+32-1）=99×100=9900 C、原式=99×（69+32+1）=99×102=10 098 D、原式=99×（69+32-99）=99×2=198

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6. 若 $m^{2} = n + 2022 ， n^{2} = m + 2022$ （ $m$ 和 $n$ 不相等），那么式子 $m^{3} - 2 m n + n^{3}$ 的值为（）

A、2022 B、 $- 2022$ C、2023 D、 $- 2023$

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7. 设 n是任意正整数，代入式子 n³-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是（）

A、388 947 B、388 944 C、388 953 D、388 949

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8. 已知二次三项式 $x^{2} - kx - 15$ 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数 $k$ 的取值范围有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 因式分解2x²- 12x +18的结果是

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10. 分解因式：

(1)、a²+4a+4=.

(2)、 $x^{3} y - 9 x y =$ .

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11. 分解因式：

(1)、a⁴-1=.

(2)、ab²-4ab+4a=.

(3)、mx²-my²=.

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12. 在实数范围内分解因式： $x^{2} + 6 x - 5 =$ ．

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13. 阅读材料回答问题：已知多项式 $2 x^{3} - x^{2} + m$ 有一个因式是 $2 x + 1$ ，求 $m$ 的值．
解法：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = A (2 x + 1) (A$ 为整式 $)$
$∵$ 上式为恒等式，
$∴$ 当 $x = - \frac{1}{2}$ 时， $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - (- \frac{1}{2})^{2} + m = A \cdot (- \frac{1}{2} \times 2 + 1)$ ，
即 $2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} - (- \frac{1}{2})^{2} + m = 0$ ．
解得： $m = \frac{1}{2}$ ．
若多项式 $x^{4} + m x^{2} + n x - 16$ 含有因式 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，则 $m n =$ ．

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三、解答题

14. 阅读材料： $a^{3} - b^{3} + a^{2} b - a b^{2} = (a^{3} + a^{2} b) - (b^{3} + a b^{2})$
$= a^{2} (a + b) - b^{2} (a + b)$
＝（ ▲ ） $= (a + b)$
＝ ▲ ．

(1)、请把阅读材料补充完整；

(2)、分解因式： $4 x^{2} - 2 x - y^{2} - y$ ；

(3)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $△ A B C$ 的三边长，若 $a^{2} + b^{2} + 2 c^{2} - 2 a c - 2 b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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15. 许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如： $： 8 = 3^{2} - 1^{2} ， 16 = 5^{2} - 3^{2} ， 24 = 7^{2} - 5^{2} ，$

(1)、42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2024呢?

(2)、设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么?

(3)、如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.

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四、综合题

16. 对任意一个三位数 $n$ ，如果 $n$ 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“真知数”，将 $n$ 的百位数字调到个位数字的后面，可以得到一个新的三位数，再将新三位数的百位数字调到个位数字的后面，可以得到另一个新的三位数，把这两个新数与原数 $n$ 的和与111的商记为 $F (n)$ .例如，123是“真知数”，将123的百位数字调到个位数字的后面得到231，再将231的百位数字调到个位数字的后面得到312，则 $F (123) = \frac{123 + 231 + 312}{111} = \frac{666}{111} = 6$ .

(1)、求 $F (421)$ ， $F (583)$ ；

(2)、已知 $s = 100 x + 21$ ， $t = 256 + y$ （ $1 \leq x \leq y \leq 9$ ， $x$ ， $y$ 为整数），若 $s$ 、 $t$ 均为“真知数”，且 $F (s) + F (t)$ 可被7整除，求 $t$ 的值.

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17. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： $x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$ 因式分解的结果为 $(x - 1) (x + 1) (x + 2)$ ，当 $x = 18$ 时， $x - 1 = 17$ ， $x + 1 = 19$ ， $x + 2 = 20$ ，此时可以得到六位数的数字密码171920．

(1)、根据上述方法，当 $x = 21$ ， $y = 7$ 时，对于多项式 $x^{3} - x y^{2}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）

(2)、若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式 $x^{3} y + x y^{3}$ 分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；

(3)、若多项式 $x^{3} + (m - 3 n) x^{2} - n x - 21$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $x = 27$ 时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．

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