2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 10.2 不等式的基本性质同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $0 \leq a - b \leq 1$ 且 $1 \leq a + b \leq 4$ ，则a的取值范围是（）

A、 $1 \leq a \leq 2$ B、 $2 \leq a \leq 3$ C、 $\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$

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2. 关于代数式 $x + 3$ ，下列说法一定正确的是（）

A、它的值比 $x$ 小 B、它的值比3小 C、它的值比3大 D、它的值随着 $x$ 的增大而增大

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3. 运用等式性质进行的变形，正确的是（）

A、如果 $a = b$ ，那么 $a + 2 = b + 3$ B、如果 $a = b$ ，那么 $a - 2 = b - 3$ C、如果 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ，那么 $a = b$ D、如果 $a^{2} = 3 a$ ，那么 $a = 3$

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4. 下列说法中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b ， c = d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $c^{2} a > c^{2} b$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - c > b - d$

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5. 若关于x的不等式 $(a - 1) x < 1$ 的解集是 $x > \frac{1}{a - 1}$ ，则a的取值范围是（　　）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a > 1$ D、 $a < 1$

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6. 下列说法不一定成立的是（）

A、若a>b，则a+c>b+c B、若a+c>b+c，则a>b C、若a>b，则ac²>bc² D、若ac²>bc² ，则a>b

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7. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 都是小于－1的数，且 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > 0$ ，若满足 $a_{1} (x_{1} + 1) (x_{1} - 2) = 1$ ， $a_{2} (x_{2} + 1) (x_{2} - 2) = 2$ ， $a_{3} (x_{3} + 1) (x_{3} - 2) = 3$ ，则必有（）

A、 $x_{1} > x_{2} > x_{3}$ B、 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ D、不能确定 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系

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8. 设m，n是实数，a，b是正整数，若 $(m + n) a ⩾ (m + n) b$ ，则（）

A、 $m + n + a ⩾ m + n + b$ B、 $m + n - a ⩽ m + n - b$ C、 $\frac{a}{m + n} ⩾ \frac{b}{m + n}$ D、 $\frac{m + n}{a} ⩽ \frac{m + n}{b}$

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二、填空题

9. 若 $x > y$ ，则 $x m^{2}$ $y m^{2}$ (填“>"“ $<$ “ $" \geq "$ 或 $" \leq "$ ).

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10. 若 $a < b < 0$ ，有下列式子：① $a + 1 < b + 2$ ；② $\frac{a}{b} > 1$ ；③ $a + b < a b$ ；④ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ .其中正确的是.(填序号)

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11. 命题“若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ ”是命题（填“真”或“假”）．

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12. 若关于 $x$ 的不等式 $(a + 2) x > 1$ 的解集是 $x < \frac{1}{a + 2}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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13. 如果命题“若 $a < b$ ，则 $m a > m b$ ”为真命题，那么 $m$ 可以是（写出一个即可）．

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三、解答题

14. 已知a＜0，-1＜b＜0，试比较a、ab、ab²的大小．

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15. 将1，2，3，…，16这16个数分成8组 $(a_{1} ， b_{1}) ， (a_{2} ， b_{2}) ， \dots ， (a_{8} ， b_{8}) ，$ 若 $| a_{1} - b_{1} | + | a_{1} - b_{1} | + \dots + | a_{1} - b_{1} | = 62$ .求 ${(a_{1} - b_{1})}^{2} + {(a_{2} - b_{2})}^{2} + \dots + {(a_{8} - b_{8})}^{2}$ 的最小值.
必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ ， $y_{1} \leq y_{2} \leq \dots \leq y_{n}$ 为两组实数， $z_{1} \leq z_{2} \leq \dots \leq z_{n}$ 是 $y_{1} \leq y_{2} \leq \dots \leq y_{n}$ 的任一排列，则 $x_{1} y_{n} + x_{2} y_{n - 1} + \dots x_{n} y \leq x_{1} z_{1} + x_{2} z_{2} + \dots x_{n} z_{n} \leq x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + \dots x_{n} y_{n}$ .

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四、综合题

16.

(1)、①如果 a-b＜0，那么 ab；②如果 a-b=0，那么 ab；
③如果 a-b＞0，那么 ab；

(2)、由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．

(3)、用（1）的方法你能否比较3x²-3x+7与4x²-3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．

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17. 阅读理解：我们知道，比较两数（式）大小有很多方法，“作差法”是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若 $a - b > 0$ ，则 $a > b$ ；若 $a - b = 0$ ，则 $a = b$ ；若 $a - b < 0$ ，则 $a < b$ .
例：已知 $A = x^{2} + 2 x y$ ， $B = 4 x y - y^{2}$ ，其中 $x \neq y$ ，求证： $A > B$ .

证明： $A - B = (x^{2} + 2 x y) - (4 x y - y^{2}) = x^{2} + 2 x y - 4 x y + y^{2}$ $= x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$ .

∵ $x \neq y$ ，∴ ${(x - y)}^{2} > 0$ ，∴ $A > B$ .

(1)、操作感知：比较大小：
①若 $a < b < 0$ ，则 $a^{3}$ $a b^{2}$ ；

② $m^{2} + 16$ $8 m$ .

(2)、类比探究：已知 $M = 2016 \times 2019$ ， $N = 2017 \times 2018$ ，试运用上述方法比较 $M$ 、 $N$ 的大小，并说明理由.

(3)、应用拓展：已知 $P (m ， m - 4)$ ， $Q (m ， m^{2} + 3 m)$ 为平面直角坐标系中的两点，小明认为，无论 $m$ 取何值，点 $Q$ 始终在点 $P$ 的上方，小明的猜想对吗？为什么？

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