2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 9.3 三角形的角平分线、中线和高同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 有两条高在三角形外部的三角形是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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2. 下列图形中AD是三角形ABC的高线的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，将一张四边形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，点D恰好落在边 $A B$ 的中点 $D^{'}$ 处.设 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ A D C$ 和 $△ A B C$ 的面积，则 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的数量关系是（）

A、 $S_{1} = \frac{1}{3} S_{2}$ B、 $S_{1} = \frac{1}{2} S_{2}$ C、 $S_{1} = 2 S_{2}$ D、 $S_{1} = 3 S_{2}$

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $B D$ 、 $B E$ 分别是高和角平分线，点 $F$ 在 $C A$ 的延长线上， $F H ⊥ B E$ ，交 $B D$ 于点 $G$ ，交 $B C$ 于点 $H$ ；下列结论中正确的结论有（）
① $∠ D B E = ∠ F$ ；② $∠ F = \frac{1}{2} (∠ B A C - ∠ C)$ ；③ $2 ∠ B E F = ∠ B A F + ∠ C$ ；④ $∠ B G H = ∠ A B E + ∠ C$ ．

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D ， E$ 是 $A C$ 上两点，且 $A E = D E$ ， $B D$ 平分 $∠ E B C$ ，那么下列说法中不正确的是（）

A、 $B E$ 是 $△ A B D$ 的中线 B、 $B D$ 是 $△ B C E$ 的角平分线 C、 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ D、 $B C$ 是 $△ B D E$ 的高

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6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则 $A D$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、中线、角平分线、高线 B、高线、中线、角平分线 C、角平分线、高线、中线 D、角平分线、中线、高线

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7. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $B C = 3 c m$ ， E为 $C D$ 的中点，动点P从A点出发，以每秒 $1 c m$ 的速度沿 $A \to B \to C \to E$ 运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，则当 $△ A P E$ 的面积为 $5 c m^{2}$ 时，x的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、5 C、 $\frac{10}{3}$ 或5 D、 $\frac{7}{3}$

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8. 如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD=2：1，若S_△_ABC=12，则图中阴影部分的面积是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的高是

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是高， $A E$ 是角平分线， $∠ E A D = 5 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ B =$ .

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11. 如图， $D ， E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B 、 B C$ 上的点， $A D = 2 B D ， B E = C E$ ，设 $△ A D F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C E F$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{△ A B C} = 12$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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12. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，且 $S_{△ A B C} = 4 c m^{2}$ ，则阴影部分的面积为 $c m^{2}$ .

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13. 如图，在△ABC中，已知点D ， E ， F分别为边BC ， AD ， CE的中点，且 $S_{△ A B C} = 8 c m^{2}$ ，则阴影部分的面积等于．

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三、解答题

14. 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c ，设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则三角形的面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c ，则三角形的面积 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ .依据上述公式解决下列问题：

(1)、若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于；

(2)、若一个三角形的三边长分别是 $\sqrt{5}$ ， 3， $2 \sqrt{5}$ ，求这个三角形的面积.

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15. 用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.

(1)、由图②和图①可以得到关于面积的等式为.

(2)、小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.

(3)、如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S₁＋S₂=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S_△_PCF.

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四、综合题

16. 已知 $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线，E为线段 $A D$ 上一点．

(1)、如图1，若 $A B - A C = 3$ ， $△ A D C$ 周长为10，求 $△ A B D$ 周长；

(2)、若 $△ B D E$ 面积为20， $B D = 8$ ，请在图2中作 $△ B D E$ 的 $B D$ 边上的高，并求出点E到直线 $B C$ 的距离；

(3)、如图3，若 $∠ A B D = 40 °$ ， $∠ A D B = 110 °$ ，射线 $B E$ 平分 $∠ A B D$ ，点P射线 $B E$ 上一点，且直线 $D P$ 与 $△ B D E$ 的一条边所在的直线垂直，请直接写出 $∠ B D P$ 的度数．

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17. 如图，已知 $△ A B C$ 的面积是 $60$ ，请完成下列问题：

(1)、如图 $1$ ， $△ A B C$ 中，若 $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，则 $△ A B D$ 的面积 $△ A C D$ 的面积 $($ 填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ；

(2)、如图 $2$ ，若 $C D$ 、 $B E$ 分别是 $△ A B C$ 的 $A B$ 、 $A C$ 边上的中线，求四边形 $A D O E$ 的面积可以用如下方法：
连接 $A O$ ，由 $A D = D B$ 得 $S_{△ A D O} = S_{△ B D O}$ ，
同理，可得 $S_{△ C E O} = S_{△ A E O}$ ．
设 $S_{△ A D O} = x$ ， $S_{△ A E O} = y$ ，则 $S_{△ B D O} = x$ ， $S_{△ C E O} = y$ ．
由题意得 $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = 30$ ， $S_{△ A D C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = 30$ ．
可列方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 30 \\ x + 2 y = 30 \end{array}$ ，解得，
通过解这个方程组可得四边形 $A D O E$ 的面积为；

(3)、如图 $3$ ， $A D ： D B = 1 ： 3$ ， $C E ： A E = 2 ： 3$ ，请直接写出四边形 $A D O E$ 的面积 $． ($ 不用书写过程 $)$

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