2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.4 整式的乘法同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $(x + 3) (2 x - a)$ 展开后不含 $x$ 的一次项，则 $a$ 的值等于（）

A、6 B、 $- 6$ C、0 D、 $- 2$

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2. 设A=(x-3)(x-7)，B=(x-2)(x-8)，则A，B的大小关系为（）

A、A>B B、A<B C、A=B D、A≥B

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3. 已知多项式ax+b与 $2 x^{2} - x + 2$ 的乘积展开式中不含 x的一次项，且常数项为4，则 $a^{b}$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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4. 若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则长方体的体积为（）

A、3x³－4x² B、6x²－8x C、6x³－8x² D、6x³－8x

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5. 有下列各式：①(3a+b)(- 2b+a)=3a²-5ab+2b²；②(x+y)(x-y)=x²-y²；③(x+2)(3x+6)=3x²+6x+12；④(x-3)(x+2)=x²-x-6．其中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 如图1，有边长分别为a和b（a>b）的A类和B类正方形纸片、长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示），则需要1张A类纸片、1张B类纸片和⒉张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 若 $(x + m) (x - 1)$ 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2．

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8. 如图1的8张宽为a，长为 $b (a < b)$ 的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）

A、 $b = 5 a$ B、 $b = 4 a$ C、 $b = 3 a$ D、 $b = a$

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二、填空题

9. 已知x²+mx+n=(x-3)(x+5)，则3m-n=.

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10. 已知单项式9a^m+1bⁿ⁺¹与-2a2^m-1b^2n-1的积与5a³b⁶是同类项，则mn=.

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11. 已知A是关于x的三次多项式，B是关于x的四次多项式，则下列结论：①A+B是七次式；②A-B是一次式；③AB是七次式；④A-B是四次式，其中正确的是（填序号）.

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12. 已知 $(x^{2} + m x + n) (x^{2} - 3 x + 2)$ 的展开式中不含 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 项，则 $m + n =$ ．

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13. 用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为 $a$ ， $b$ 的正方形和长为 $b$ 宽为 $a$ 的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为： $(a + 2 b) (a + b) = a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ ．

(1)、图3可以解释为等式：；

(2)、要拼出一个两边长为 $a + b$ ， $3 a + b$ 的长方形，先回答需要以下三种纸片各多少块，再用画图或整式乘法验证你的结论；
块，块，块

(3)、如图4，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，若用 $x$ ， $y$ （ $x > y$ ）表示四个相同小长方形的两边长，以下关系式正确的是（填序号）．① $x + y = m$ ；② $2 x y = m^{2} - n^{2}$ ；③ $x^{2} - y^{2} = m n$ ；④ $x^{2} + y^{2} = m^{2} + n^{2}$ ．

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三、解答题

14. 如图1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋13；如图2的长方形的两边长分别为m＋5，m＋7．（其中m为正整数）

(1)、写出并计算两个长方形的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，并比较 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的大小；

(2)、现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；

(3)、在（1）的条件下，若某个图形的面积介于 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 之间（不包括 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ）且面积为整数，这样的整数有且只有19个，求m的值

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15. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释 $.$ 如图 $1$ ，有足够多的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种纸片： $A$ 种是边长为 $m$ 的正方形， $B$ 种是边长为 $n$ 的正方形， $C$ 种是宽为 $m$ ，长为 $n$ 的长方形 $.$ 用 $A$ 种纸片 $1$ 张， $B$ 种纸片 $1$ 张， $C$ 种纸片 $2$ 张可以拼出 $($ 不重不漏 $)$ 如图 $2$ 所示的正方形 $.$ 根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法 $(m + n) (m + n) = m^{2} + 2 m n + n^{2}$ ，反过来也可以解释多项式 $m^{2} + 2 m n + n^{2}$ ，因式分解的结果为 $m^{2} + 2 m n + n^{2} = (m + n)^{2}$ ，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：

(1)、若多项式 $m^{2} + 2 n^{2} + 3 m n$ 表示分别由 $1$ ， $2$ ， $3$ 张 $A$ ， $B$ ， $C$ 三种纸片拼出如图 $3$ 所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式 $m^{2} + 3 m n + 2 n^{2}$ 进行因式分解；

(2)、我们可以借助图 $3$ 再拼出一个更大的长方形，使该长方形刚好由 $3$ 张 $A$ 种纸片， $2$ 张 $B$ 种纸片， $7$ 张 $C$ 种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式，据此可得到该多项式因式分解的结果为．

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四、综合题

16. 我们知道，根据几何图形的面积关系可以说明一些等式的成立．
例如： $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ 可以用图1的面积关系来说明．

(1)、根据图2写出一个等式；

(2)、请你再举一个例子，写出等式并在图3空白处画出一个相应的几何图形加以说明（注：不必证明，用代数式标出各部分面积即可）．

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17.

(1)、计算观察下列各式填空：
第1个： $(a - b) (a + b) =$ ；
第2个： $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) =$ ；
第3个： $(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{2}) =$ ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．

(2)、猜想：若n为大于1的正整数，则 $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \cdot \cdot \cdot + a^{2} b^{n - 3} + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) =$ ．

(3)、利用（2）的猜想结论计算： $2^{n - 1} + 2^{n - 2} + 2^{n - 3} + \cdot \cdot \cdot + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1 =$ ．

(4)、扩展与应用： $3^{n - 1} + 3^{n - 2} + 3^{n - 3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1 =$ ．

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