2023-2024学年冀教版初中数学七年级下册 8.1 同底数幂的乘法同步分层训练培优题

试卷更新日期：2024-04-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $a^{m} = 6$ ， $a^{n} = 3$ ，则 $a^{m + 2 n}$ 的值为（）

A、9 B、12 C、18 D、54

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2. 若 $2^{x} = m$ ， $2^{y} = n$ ，则 $2^{x + y}$ 等于（）

A、 $2 m + 3 n$ B、 $m^{3} n^{2}$ C、 $m n$ D、 $m^{2} + n^{3}$

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3. 在等式x²•（﹣x）•（　　）＝x¹¹中，括号内的代数式为（　　）

A、x⁸ B、（﹣x）⁸ C、﹣x⁹ D、﹣x⁸

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4. 已知10^a=6，10^b=2，10^c=72，用含有a和b的代数式表示c为（）

A、c=a+b B、c=2a+b C、c=2a+2b D、c=2a+3b

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5. 已知 $2^{a} = 5$ ， $2^{b} = 10$ ， $2^{c} = 50$ ，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）

A、 $a b = c$ B、 $a + b = c$ C、 $a ： b ： c = 1 ： 2 ： 10$ D、 $a^{2} b^{2} = c^{2}$

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6. 若 $a \cdot a^{m} \cdot a^{2 m + 1} = a^{14} ，$ 则 m的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 若 $x > 1$ ， $y > 0$ ，且满足 $x y = x^{y} ， \frac{x}{y} = x^{3 y}$ ，则 $x + y$ 的值为（）.

A、1 B、2 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{11}{2}$

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8. 为了求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}$ 的值，可设 $s = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}$ ，等式两边同乘以 $2$ ，得 $2 s = 2 (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}) = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{51}$ ，所以得 $2 s - s = (2 + 2^{2} +$ $2^{3} + \dots + 2^{51}) - (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{50}) = 2^{51} - 1$ ，所以 $s = 2^{51} - 1$ ，即： $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} +$ $\dots + 2^{50}$ ＝ $2^{51} - 1$ .仿照以上方法求 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{2020}$ 的值为（）

A、 $5^{2021} - 1$ B、 $5^{2020} - 1$ C、 $\frac{5^{2020} - 1}{4}$ D、 $\frac{5^{2021} - 1}{4}$

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二、填空题

9. 若3x+y-3=0，则2^3x·2^y= ．

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10. 计算 $- m^{4} \cdot {(- m)}^{2}$ 的结果是．

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11. 已知 $2^{x} = 8 ， 2^{y} = 4$ ，那么 $2^{x + y}$ 的值是．

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12. 已知2^a＝5，2^b＝10，2^c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是．

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三、解答题

13. 1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×10⁵千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×10¹⁰千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？

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14. 用字母表示同底数幂的乘法法则，并写出推导过程及每一步的依据．

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四、综合题

15. 先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示a^m•a^_n的结果（m、为正整数）.

分析：根据乘方的意义，a^m•aⁿ= $\overset{m 个}{\overset{︷}{a \cdot a \cdot a \cdot ⋯ \cdot a}} \cdot \overset{n 个}{\overset{︷}{a \cdot a \cdot a \cdot ⋯ \cdot a}} = \overset{(m + n) 个}{\overset{︷}{a \cdot a \cdot a \cdot ⋯ \cdot a}}$ =a^m+n.

(1)、请根据以上结论填空：3⁶×3⁸= ，5²×5³×5⁷= ，（a+b）³•（a+b）⁵= ；

(2)、仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（a^m）ⁿ的结果（提示：将a^m看成一个整体）.

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16. 基本事实：若 $a^{m} = a^{n}$ （a>0，且a≠1，m ， n都是正整数），则m=n.试利用上述基本事实解决下面的两个问题：

(1)、如果 $2 \times 8^{x} \times 16^{x} = 2^{22}$ ，求x的值．

(2)、如果 $2^{x + 1} • 2 + 2^{x + 1} = 24$ ，求x的值．

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17. 长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足3^a=27=3²·3^b.假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

(1)、求a、b的值；

(2)、若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)、如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC.

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